$\quad f(x,y)= \dfrac{2x^2 + y^2}{3xy}$

a) Ta có:

$+)\quad \dfrac{\partial f}{\partial x}= \dfrac{2x^2 - y^2}{3x^2y}$

$+)\quad \dfrac{\partial f}{\partial x}=- \dfrac{2x^2 - y^2}{3xy^2}$

$\Rightarrow df = \dfrac{2x^2 - y^2}{3x^2y}dx - \dfrac{2x^2 - y^2}{3xy^2}dy$

Tại $(1;1)$ ta được:

$df(1,1)= \dfrac13dx -  \dfrac13dy$

b) Ta có:

$+)\quad \dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}=\dfrac{2y}{3x^3}$

$+)\quad \dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^2f}{\partial y\partial x}= -  \dfrac{2x^2 + y^2}{3x^2y^2}$

$+)\quad \dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}=\dfrac{4x}{3y^3}$

Tại $(1,1)$ ta được:

$+)\quad \dfrac{\partial^2f(1,1)}{\partial x^2}=\dfrac23$

$+)\quad \dfrac{\partial^2f(1,1)}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^2f(1,1)}{\partial y\partial x}= -1$

$+)\quad \dfrac{\partial^2f(1,1)}{\partial y^2}=\dfrac43$

c) $\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)= \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{2x^2 + y^2}{3xy}$

Đặt $y = kx$ ta được:

$\quad \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2x^2 + k^2x^2}{3kx^2}$

$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2 + k^2}{3k}$

$= \dfrac{2 + k^2}{3k}$

$\Rightarrow$ Giới hạn phụ thuộc vào gía trị của $k$

Mỗi giá trị $k$ khác nhau cho một giới hạn khác nhau

Do đó giới hạn đã cho không tồn tại