Đáp án:
$P_{max}=2$ khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$
$P_{min}=1$ khi $(a;b;c)=(0;0;1)$ và các hoán vị
Giải thích các bước giải:
$P=\sqrt{ab+c(a+b+c)}+\sqrt{bc+a(a+b+c)}+\sqrt{ac+b(a+b+c)}$
$P=\sqrt{(a+b)(a+c)}+\sqrt{(a+b)(b+c)}+\sqrt{(a+c)(b+c)}$
$P \leq \dfrac{1}{2}(a+b+a+c)+\dfrac{1}{2}(a+b+b+c)+\dfrac{1}{2}(a+c+b+c)=2$
$P_{max}=2$ khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$
Do $0 \leq a;b;c \leq 1 ⇒(1-a)(1-b) \geq 0$
$⇔ab \leq a+b ⇔ab+c \leq a+b+c=1$
$⇒\sqrt{ab+c} \geq ab+c$ (hy vọng đừng thắc mắc chỗ này, nó là quy tắc cơ bản: $0 \leq x \leq 1$ thì $\sqrt{x} \geq x$)
Hoàn toàn tương tự, ta có:
$\sqrt{bc+a} \geq bc+a$; $\sqrt{ac+b} \geq ac+b$
Cộng vế với vế:
$P \geq ab+bc+ca+a+b+c=ab+bc+ca+1 \geq 1$
$P_{min}=1$ khi $(a;b;c)=(0;0;1)$ và các hoán vị
