Đáp án+Giải thích các bước giải:
Xét $5$ tổng:
$S_1=a_1\\ S_2=a_1+a_2\\ S_3=a_1+a_2+a_3\\ S_4=a_1+a_2+a_3+a_4\\ S_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$
$TH1:$ Tồn tại $1$ số hoặc $1$ tổng chia hết cho $5$ thì bài toán giải quyết xong
$TH2:$ Không tồn tại $1$ số hoặc $1$ tổng nào chia hết cho $5$
$5$ tổng chia cho $5$ chỉ có thể có tối đa $4$ số dư, do đó có ít nhất $2$ tổng có cùng số dư
Suy ra hiệu $2$ tổng đó chia hết cho $5$
Giả sử $2$ hiệu đó là $S_m$ và $S_n (m,n \in \mathbb{N^*}; 5 \ge m >n)$
Có $S_m-S_n \ \vdots \ 5$ $[a_1+a_2+\dots+a_m]-(a_1+a_2+\dots+a_n) ] \ \vdots \ 5\\ a_{n+1}+\dots+a_m \ \vdots \ 5$
Mà $a_{n+1}+\dots+a_m$ là tổng một số số tự nhiên kề nhau, do đó ta có đpcm.
