Đáp án:
GTNN của $A$ là $10$, đạt đc khi $x = y = \dfrac{1}{2}$.
Giải thích các bước giải:
Ta có
$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy \leq 1 - 2xy$
và
$xy \leq \dfrac{(x+y)^2}{4} \leq \dfrac{1}{4}$
Do đó
$A = \dfrac{1}{x^2 + y^2} + \dfrac{2}{xy} \geq \dfrac{1}{1 - 2xy} + \dfrac{2}{xy}$
Lại có
$\dfrac{1}{1 - 2xy} + \dfrac{2}{xy} = \left( \dfrac{2}{xy} + 32xy \right) + \left[ (4-8xy) + \dfrac{1}{1-2xy} \right] - 24xy - 4$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta có
$\dfrac{2}{xy} + 32xy \geq 2 \sqrt{\dfrac{2}{xy} . 32xy} = 16$
và
$(4-8xy) + \dfrac{1}{1-2xy} \geq 2 \sqrt{(4-8xy).\dfrac{1}{1-2xy}} = 4$
và
$xy \leq \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow -24xy \geq -24.\dfrac{1}{4} = -6$
Do đó
$A \geq \dfrac{1}{1 - 2xy} + \dfrac{2}{xy} \geq 16 + 4 - 6 - 4 = 10$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
$\begin{cases} x +y = 1\\ xy = \dfrac{1}{4} \end{cases}$
suy ra $x = y = \dfrac{1}{2}$
Vậy GTNN của $A$ là $10$, đạt đc khi $x = y = \dfrac{1}{2}$.
