\(\begin{array}{l}
\quad f(x,y) = \dfrac{x^2 +2y^2}{xy}\\
a)\quad \text{Ta có:}\\
+)\quad \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{x^2 - y^2}{x^2y}\\
+)\quad \dfrac{\partial f}{\partial y} =- \dfrac{x^2 - y^2}{xy^2}\\
\Rightarrow df = \dfrac{\partial f}{\partial x}dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}dy\\
\Rightarrow df = \dfrac{x^2 - y^2}{x^2y}dx - \dfrac{x^2-y^2}{xy^2}dy\\
\text{Tại $(1;1)$ ta được:}\\
\quad df = 0\\
b)\quad \text{Ta có:}\\
+)\quad \dfrac{\partial^2f}{\partial x^2} = \dfrac{2y}{x^3}\\
+)\quad \dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y} = \dfrac{\partial^2f}{\partial y\partial x} =- \dfrac{x^2+y^2}{x^2y^2}\\
+)\quad \dfrac{\partial^2f}{\partial y^2} =- \dfrac{2x}{y^3}\\
\text{Tại $(1;1)$ ta được:}\\
+)\quad \dfrac{\partial^2f}{\partial x^2} =2\\
+)\quad \dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y} = \dfrac{\partial^2f}{\partial y\partial x} = -2\\
+)\quad \dfrac{\partial^2f}{\partial y^2} = 2\\
c)\quad \lim\limits_{(x,y)\to (0;0)}f(x,y)\\
= \lim\limits_{(x,y)\to (0;0)}\dfrac{x^2 +2y^2}{xy}\\
\text{Đặt $y = kx$ ta được:}\\
\quad \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)\\
= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2 + 2k^2x^2}{kx^2}\\
= \dfrac{1+2 k^2}{k}\\
\Rightarrow \text{Giới hạn phụ thuộc vào giá trị của $k$}\\
\text{ Mỗi giá trị $k$ khác nhau cho các giới hạn khác nhau}\\
\text{ Do đó giới hạn đã cho không tồn tại}
\end{array}\)
