a, ta sẽ chứng minh DE vuông FC, các trường hợp còn lại chứng minh tương tự.

Thật vậy
giả sử DE cắt FC tại O.$\widehat{EFC}=\frac{1}{2}sđcungEC,\widehat{FED}=\frac{1}{2}sđcungFD=\frac{1}{2}\left(sđcungFB+sđcungBD\right)$
Do I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên $sđcungBD=sđcungDC;sđcungAE=sđcungEC;sđcungAF=sđcungBF$
vì vậy:
$\widehat{EFC}+\widehat{FED}=\frac{1}{2}\left(sđcungEC+sđcungBD+sđFB\right)=90$(do đường tròn chia thành 3 cặp cung bằng nhau, nhóm lần lượt 3 cung tương ứng thì ta có tổng số đo của 3 cung bằng $180^0$.
tam giác OFE có tổng hai góc bằng $90^0$ nên góc còn lại là FOE bằng $90^0$
Vậy FC vuông góc DE.
tương tự cho BE vuông góc FD, AD vuông góc FE.
vậy J là trực tâm của tam giác DEF.
câu b: FC vuông góc DE; DK là đường kính hình tròn nên KE vuông góc DE. do vậy FC song song với KE hay JF song song KE.
tương tự do J là trực tâm tam giác ABC nên:
BE vuông góc FD, mặt khác KD là đường kính đường tròn tâm I nên FD vuông góc FK. vậy BE song song FK hay JE song song FK.(2)
Từ (1),(2) suy ra: tứ giác EKFJ là hình bình hành.
c, ta sửa lại đề thành: DE là đường trung trực của DE.
do J là trực tâm của tam giác DEF nên FC vuông góc với DE hay DE vuông góc JC.
mặt khác AD là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{ABD}=\widehat{DAC}\Rightarrow sđcungBD=sđcungDC$
từ đó suy ra: $\widehat{BED}=\widehat{DEC\Rightarrow}$ED là tia phân giác của góc BEC.
Xét tam giác JEC ta có: ED vừa là đường cao vừa là tia phân giác nên tam giác JEC cân tại E suy ra DE là đường trung trực của JC.