a) Xét $\Delta DBO$ là $\Delta DMO$
$DO:$ chung
$BO=MO=R\\ \widehat{DBO}=\widehat{DMO}=90^o\\ \Rightarrow \Delta DBO = \Delta DMO\\ \Rightarrow DB=DM$
Tương tự $\Delta CMO = \Delta CAO$
$\Rightarrow CM=CA\\ \Rightarrow CD=DM+CM=CA+DB\\ b) \Delta DBO = \Delta DMO \\\Rightarrow \widehat{O_1}=\widehat{O_2}\\ \Delta CMO = \Delta CAO \\\Rightarrow \widehat{COM}=\widehat{O_3}\\ \widehat{O_1}+\widehat{O_2}+\widehat{COM}+\widehat{O_3}=180^o\\ \Leftrightarrow 2(\widehat{O_2}+\widehat{COM})=180^o\\ \Leftrightarrow\widehat{O_2}+\widehat{COM}=90^o\\ \Leftrightarrow\widehat{COD}=90^o\\c)AC.BD=CM.DM=OM^2=\dfrac{1}{4}AB^2$
$d)$Gọi $E$ là trung điểm $CD$
$\Delta COD$ vuông tại $O$ có $OE$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền
$\Rightarrow OE=ED=EC$
$\Rightarrow O,C,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $CD(1)$
$OE=ED=EC \Rightarrow \Delta DEO; \Delta CEO$ cân tại $E$
$\Rightarrow \widehat{EDO}=\widehat{EOD}; \widehat{ECO}=\widehat{EOC}\\ DB=DM;OB=OM$
$\Rightarrow DO$ là trung trực $BM$
$\Rightarrow DO \perp BM\\ \widehat{DMB}=90^o-\widehat{EDO}=90^o-\widehat{EOD}=\widehat{EOC}=\widehat{ECO}\\ \Rightarrow OC // BM$
e)Hình thang $BDCA$ có $E$ là trung điểm $CD, O$ là trung điểm $BA$
$\Rightarrow OE$ là đường trung bình hình thang $BDCA$
$\Rightarrow OE//BD$
Mà $BD \perp AB$
$\Rightarrow OE \perp AB(2)$
Từ $(1)(2)=>AB$ là tiếp tuyến đường tròn đường kính $CD$
f)Xét $\Delta BDN$ và $\Delta CAN$
$\widehat{BDN}=\widehat{CAN}(BD//AC)\\ \widehat{DBN}=\widehat{ACN}(BD//AC)\\ \Rightarrow \Delta BDN$ đồng dạng $\Delta CAN$
$\Rightarrow\dfrac{BD}{AC}=\dfrac{DN}{NA}\\ \dfrac{DM}{MC}=\dfrac{BD}{AC}=\dfrac{DN}{NA}=>MN//AC$
Mà $AC \perp AB$
$\Rightarrow MN \perp AB$
