Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:
Phương trình đường elip là: \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\,\,\left( E \right)\)
Diện tích khu đất hình elip là: \(S = \pi ab = \pi .5.4 = 20\pi \left( {{m^2}} \right)\)
(Quan sát hình vẽ) Giả sử độ dài đoạn AB là x (m), độ dài đoạn BC là y (m), (x, y > 0).
Do các điểm A, B, C, D nằm trên \(\left( E \right)\) nên ta có:
\(\dfrac{{{{\left( {\dfrac{x}{2}} \right)}^2}}}{{25}} + \dfrac{{{{\left( {\dfrac{y}{2}} \right)}^2}}}{{16}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{100}} + \dfrac{{{y^2}}}{{64}} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = \dfrac{{16\left( {100 - {x^2}} \right)}}{{25}} \Leftrightarrow y = \dfrac{{4\sqrt {100 - {x^2}} }}{5}\)
Diện tích của hình chữ nhật ABCD là: \({S_{ABCD}} = x.y = x.\dfrac{{4\sqrt {100 - {x^2}} }}{5} = \dfrac{{4x\sqrt {100 - {x^2}} }}{5}\left( {{m^2}} \right)\)
Khi đó, số tiền ông An phải trả là:
\(T = \dfrac{{4x\sqrt {100 - {x^2}} }}{5}.1\,000\,000 + \left( {20\pi - \dfrac{{4x\sqrt {100 - {x^2}} }}{5}} \right).1\,200\,000\)
\( = 24\,\,000\,\,000\,\pi - 160\,\,000x\sqrt {100 - {x^2}} \) (đồng)
Ta có: \(x\sqrt {100 - {x^2}} \le \dfrac{{{x^2} + 100 - {x^2}}}{2} = 50\)
\( \Rightarrow 24\,000\,000\pi - 160\,000x\sqrt {100 - {x^2}} \ge 24\,000\,000\pi - 8\,000\,000\)
\( \Rightarrow {T_{\min }} = 240\,000\,000\pi - 8\,000\,000 \approx \)67 398 224 (đồng) khi và chỉ khi \(x = \sqrt {100 - {x^2}} \Leftrightarrow x = 5\sqrt 2 \).
Chọn: A
