a.
+ $∆ABC$ có $D$, $E$, $F$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC$, $AB$, $AC$.
$⇒ DE$, $DF$, $EF$ là đường trung bình $∆ABC$.
$⇒ DE // AC$; $DF // AB$.
+ Tứ giác $DEAF$ có:
$\left\{ \begin{array}x DE // AF \\ DF // AE \\ \widehat{A} = 90°\\ \end{array} \right.$.
$⇒ DEAF$ là hình chữ nhật.
$⇒ \widehat{EDF} = 90°$.
$⇒ \widehat{EDN} + \widehat{NDF} = 90°$.
+ Mà: $\widehat{EDN} + \widehat{MDE} = 90°$.
$⇒ \widehat{NDF} = \widehat{MDE}$.
+ Xét $∆DEM$ và $∆DFN$, ta có:
$\left \{ {{\widehat{NDF} = \widehat{MDE} } \atop {\widehat{MED} = \widehat{DFN} = 90° }} \right.$
$⇒ ∆DEM ᔕ ∆DFN$ (g.g). $(1)$
b.
+ Vì: $E$, $D$, $F$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$, $BC$, $AC$, ta có:
$\frac {ED}{AC} = \frac {EB}{AB} = \frac {BD}{BC}$.
+ Mà: $\frac {DF}{AB} = \frac {DC}{BC}$.
$⇒ \frac {DE}{AC} = \frac {DF}{AB}$.
+ Ta có: $DC = BD$.
$⇒ \frac {DE}{DF} = \frac {AC}{AB}$.
+ Ta có: $∆DEM ᔕ ∆DFN$ $⇒ \frac {DE}{DF} = \frac {DM}{DN}$.
$⇒ \frac {AC}{AB} = \frac {DM}{DN}$.
+ Xét $∆DMN$ và $∆ACB$, ta có:
$\left \{ {{\widehat{D} = \widehat{A} = 90° } \atop {\frac {AC}{AB} = \frac {DM}{DN}}} \right.$
$⇒ ∆DMN ᔕ ∆ACB$ (c.g.c).
c.
+ Ta có: $MN^{2} = AN^{2} + AM^{2}$
$= (AB - BM)^{2} + (AC - CN)^{2}$
$= AB^{2} + AC^{2} + BM^{2} + CN^{2} - 2AB.BM - 2AC.CN$
$= AB(2AB - BM^{2}) + AC(AC - 2CN^{2}) + BM^{2} + CN^{2}$.
$= AB.2EM - AC.2FN + BM^{2} + CN^{2}$.
$= 2(AB.EM - AC.FN) + BM^{2} + CN^{2}$. $(2)$
+ Từ $(1)$ $⇒ \frac {EM}{FN} = \frac {DM}{DN} = \frac {AC}{AB}$.
$⇒ AB.EM = AC.FN$.
+ Thay vào $(2)$ $⇒ MN^{2} = BM^{2} + CN^{2}$ (đpcm).
XIN HAY NHẤT
CHÚC EM HỌC TỐT
