Đáp án:
$a. x = 1$ thì $P ∈ Z$
$b.$ GTNN $P = - \frac{1}{2}$ khi $x = 0$
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ : $x ≥ 0$
$a. P = \frac{\sqrt[]{x}-1}{\sqrt[]{x}+2}$
⇔ $P = \frac{\sqrt[]{x}+2-3}{\sqrt[]{x}+2}$
⇔ $P = 1 - \frac{3}{\sqrt[]{x}+2}$
Vì $\sqrt[]{x} + 2 ≥ 2$ với $∀ x ≥ 0$
⇒ $\frac{3}{\sqrt[]{x}+2} ≤ \frac{3}{2}$
⇔ $- \frac{3}{\sqrt[]{x}+2} ≥ - \frac{3}{2}$
⇔ $1- \frac{3}{\sqrt[]{x}+2} ≥ 1 - \frac{3}{2}$
hay $P ≥ - \frac{1}{2}$ (1)
Ta có : $P = 1 - \frac{3}{\sqrt[]{x}+2}$
Vì $\frac{3}{\sqrt[]{x}+2} > 0$ với $∀ x ≥ 0$
⇒ $1 - \frac{3}{\sqrt[]{x}+2} < 1$
hay $P < 1$ (2)
Từ (1) và (2) ⇒ $- \frac{1}{2} ≤ P < 1$
Mà $P ∈ Z ⇒ P =$ {$0$}
+) $P = 0$
⇔ $\frac{\sqrt[]{x}-1}{\sqrt[]{x}+2} = 0$
⇔ $\sqrt[]{x} - 1 = 0$
⇔ $\sqrt[]{x} = 1$
⇔ $x = 1$ ( thỏa mãn )
Vậy $x = 1$ thì $P ∈ Z$
$b. P = \frac{\sqrt[]{x}-1}{\sqrt[]{x}+2}$
⇔ $P = \frac{\sqrt[]{x}+2-3}{\sqrt[]{x}+2}$
⇔ $P = 1 - \frac{3}{\sqrt[]{x}+2}$
Vì $\sqrt[]{x} + 2 ≥ 2$ với $∀ x ≥ 0$
⇒ $\frac{3}{\sqrt[]{x}+2} ≤ \frac{3}{2}$
⇔ $- \frac{3}{\sqrt[]{x}+2} ≥ - \frac{3}{2}$
⇔ $1- \frac{3}{\sqrt[]{x}+2} ≥ 1 - \frac{3}{2}$
⇔ $P ≥ - \frac{1}{2}$
Dấu "=" xảy ra ⇔ $x = 0$
