ĐK: $x\ge 0,x\ne 9$
$2P=\dfrac{2(\sqrt x-1)}{2(\sqrt x-3)}\\\quad\,\,\, =\dfrac{\sqrt x-1}{\sqrt x-3}\\\quad\,\,\,=\dfrac{\sqrt x-3+2}{\sqrt x-3}\\\quad\,\,\,=1+\dfrac{2}{\sqrt x-3}$
Để $2P$ đạt giá trị nguyên thì $x$ nguyên và $\sqrt x-3∈Ư(2)=\{\pm 1;\pm 2\}$
Xét bảng:
$\begin{array}{|c|c|c|}\hline \sqrt x-3&-1&-2&1&2\\\hline \sqrt x&2&1&4&5\\\hline x&4&1&16&25\\\hline \quad&tm&tm&tm&tm\\\hline\end{array}$
Với $x=4→P=\dfrac{\sqrt 4-1}{2(\sqrt 4-3)}=\dfrac{2-1}{2(2-3)}=-\dfrac{1}{2}$
$⇒P∉\Bbb Z$
Với $x=1→P=\dfrac{\sqrt 1-1}{2(\sqrt 4-3)}=0$
$⇒P∈\Bbb Z$
Với $x=16→P=\dfrac{\sqrt{16}-1}{2(\sqrt{16}-3)}=\dfrac{3}{2}$
$⇒P∉\Bbb Z$
Với $x=25→P=\dfrac{\sqrt{25}-1}{2(\sqrt{25}-3)}=1$
$⇒P∈\Bbb Z$
Suy ra: $x∈\{1;25\}$ thì $P∈\Bbb Z$
Vậy $x∈\{1;25\}$ thì $P∈\Bbb Z$
