Đáp án:
\({S_{OAB}} = \dfrac{2\sqrt{493}}9\)
Lời giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(\begin{array}{l}{x^2} - 3mx + 5 = - x - 2\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {3m - 1} \right)x + 7 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta = {\left( {3m - 1} \right)^2} - 28 > 0\\ \Leftrightarrow 9{m^2} - 6m - 27 > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{1 + 2\sqrt 7 }}{3}\\m < \dfrac{{1 - 2\sqrt 7 }}{3}\end{array} \right.\end{array}\)
Khi đó gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của (*), áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3m - 1\\{x_1}{x_2} = 7\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}A \in \left( P \right) \cap \left( d \right) \Rightarrow A\left( {{x_1}; - {x_1} - 2} \right)\\B \in \left( P \right) \cap \left( d \right) \Rightarrow B\left( {{x_2}; - {x_2} - 2} \right)\end{array}\)
Ta có: \(\overrightarrow {OA} = \left( {{x_1}; - {x_1} - 2} \right),\,\,\overrightarrow {OB} = \left( {{x_2}; - {x_2} - 2} \right)\)
Vì OA vuông góc với OB nên
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + \left( { - {x_1} - 2} \right)\left( { - {x_2} - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2.7 + 2.\left( {3m - 1} \right) + 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {3m - 1} \right) = - 18\\ \Leftrightarrow 3m - 1 = - 9\\ \Leftrightarrow 3m = - 8\\ \Leftrightarrow m = - \dfrac{8}{3}\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
Khi đó ta có: \(\left( * \right):\,\,{x^2} + 9x + 7 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 9 \pm \sqrt {53} }}{2}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow A\left( {\dfrac{{ - 9 + \sqrt {53} }}{3};\dfrac{{3 - \sqrt {53} }}{3}} \right) \\B\left( {\dfrac{{ - 9 - \sqrt {53} }}{3};\dfrac{{3 + \sqrt {53} }}{3}} \right) \end{array}\)
$\Rightarrow\vec {OA}=(x_A-0;y_A-0)=(x_A;y_A)\Rightarrow OA=\sqrt{x_A^2+y_A^2}$
$\Rightarrow OA=\dfrac{2\sqrt{49-6\sqrt{53}}}3,OB=\dfrac{2\sqrt{49+6\sqrt{53}}}3$
Diện tích \({S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB=\dfrac{2\sqrt{493}}9\).
