Đáp án:

Bài 1 :

$a. P = \frac{2\sqrt[]{x}+1}{\sqrt[]{x}+1}$

$b. x = ∅$

$c.$ GTNN $P = 1$ khi $x = 0$

Bài 2 :

$a. M = \frac{\sqrt[]{x}+5}{\sqrt[]{x}+1}$

$b. M = \frac{9}{5}$

$c. x =$ {$\frac{1}{9} , 1 , 9$}

Giải thích các bước giải:

Bài 1 : ĐKXĐ : $x ≥ 0 , x \ne 1$

$a. P = ( \frac{1}{\sqrt[]{x}-1} + \frac{\sqrt[]{x}}{x-1} ) : ( \frac{\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{x}-1} - 1 )$

$⇔ P = ( \frac{\sqrt[]{x}+1}{(\sqrt[]{x}-1)(\sqrt[]{x}+1)} + \frac{\sqrt[]{x}}{(\sqrt[]{x}-1)(\sqrt[]{x}+1)} ) : \frac{\sqrt[]{x}-\sqrt[]{x}+1}{\sqrt[]{x}-1}$

$⇔ P = \frac{2\sqrt[]{x}+1}{(\sqrt[]{x}-1)(\sqrt[]{x}+1)} : \frac{1}{\sqrt[]{x}-1}$

$⇔ P = \frac{2\sqrt[]{x}+1}{(\sqrt[]{x}-1)(\sqrt[]{x}+1)} . ( \sqrt[]{x} - 1 )$

$⇔ P = \frac{2\sqrt[]{x}+1}{\sqrt[]{x}+1}$

$b. P = \frac{3}{2}$

$⇔ \frac{2\sqrt[]{x}+1}{\sqrt[]{x}+1} = \frac{3}{2}$

$⇔ 2( 2\sqrt[]{x} + 1 ) = 3( \sqrt[]{x} + 1 )$

$⇔ 4\sqrt[]{x} + 2 = 3\sqrt[]{x} + 3$

$⇔ \sqrt[]{x} = 1$

$⇔ x = 1$ ( L )

$⇒ x = ∅$

$c. P = \frac{2\sqrt[]{x}+1}{\sqrt[]{x}+1}$

$⇔ P = \frac{2(\sqrt[]{x}+1)-1}{\sqrt[]{x}+1}$

$⇔ P = 2 - \frac{1}{\sqrt[]{x}+1}$

Vì $\sqrt[]{x} + 1 ≥ 1$ với $∀ x$ TMĐK

⇒ $\frac{1}{\sqrt[]{x}+1} ≤ 1$

⇒ $- \frac{1}{\sqrt[]{x}+1} ≥ - 1$

⇒ $2 - \frac{1}{\sqrt[]{x}+1} ≥ 2 - 1$

hay $P ≥ 1$

Dấu "=" xảy ra ⇔ $x = 0$ (TM)

Bài 2 : ĐKXĐ : $x > 0$

$a.$ Ta có :

$A = \frac{2x+3\sqrt[]{x}}{x\sqrt[]{x}+1} + \frac{1}{x-\sqrt[]{x}+1} - \frac{1}{\sqrt[]{x}+1}$

$⇔ A = \frac{2x+3\sqrt[]{x}}{(\sqrt[]{x})^{3}+1} + \frac{\sqrt[]{x}+1}{(\sqrt[]{x}+1)(x-\sqrt[]{x}+1)} - \frac{x-\sqrt[]{x}+1}{(\sqrt[]{x}+1)(x-\sqrt[]{x}+1)}$

$⇔ A = \frac{2x+3\sqrt[]{x}}{(\sqrt[]{x}+1)(x-\sqrt[]{x}+1)} + \frac{-x+2\sqrt[]{x}}{(\sqrt[]{x}+1)(x-\sqrt[]{x}+1)}$

$⇔ A = \frac{x+5\sqrt[]{x}}{(\sqrt[]{x}+1)(x-\sqrt[]{x}+1)}$

$⇔ A = \frac{\sqrt[]{x}(\sqrt[]{x}+5)}{(\sqrt[]{x}+1)(x-\sqrt[]{x}+1)}$

$⇒ M = A . \frac{x-\sqrt[]{x}+1}{\sqrt[]{x}}$

$⇔ M = \frac{\sqrt[]{x}(\sqrt[]{x}+5)}{(\sqrt[]{x}+1)(x-\sqrt[]{x}+1)} . \frac{x-\sqrt[]{x}+1}{\sqrt[]{x}}$

$⇔ M = \frac{\sqrt[]{x}+5}{\sqrt[]{x}+1}$

$b. x = 16$ thay vào $M$ được :

$M = \frac{\sqrt[]{16}+5}{\sqrt[]{16}+1}$

$⇔ M = \frac{4+5}{4+1}$

$⇔ M = \frac{9}{5}$

$c. M = \frac{\sqrt[]{x}+5}{\sqrt[]{x}+1}$

$⇔ M = \frac{\sqrt[]{x}+1+4}{\sqrt[]{x}+1}$

$⇔ M = 1 + \frac{4}{\sqrt[]{x}+1}$

Vì $\sqrt[]{x} + 1 ≥ 1$ với $∀ x$ TMĐK

⇒ $\frac{4}{\sqrt[]{x}+1} ≤ 4$

⇒ $1 + \frac{4}{\sqrt[]{x}+1} ≤ 1 + 4$

hay $M ≤ 5$

Vì $\frac{4}{\sqrt[]{x}+1} > 0$ với $∀ x$ TMĐK

⇒ $M = 1 + \frac{4}{\sqrt[]{x}+1} > 1$

⇒ $1 < M ≤ 5$

Mà $M ∈ Z$

⇒ $M =$ {$2 , 3 , 4 , 5$}

+) $M = 2$

⇔ $\frac{\sqrt[]{x}+5}{\sqrt[]{x}+1} = 2$

⇔ $\sqrt[]{x} + 5 = 2\sqrt[]{x} + 2$

⇔ $\sqrt[]{x} = 3$

⇔ $x = 9$ (TM)

+) $M = 3$

⇔ $\frac{\sqrt[]{x}+5}{\sqrt[]{x}+1} = 3$

⇔ $\sqrt[]{x} + 5 = 3\sqrt[]{x} + 3$

⇔ $2\sqrt[]{x} = 2$

⇔ $\sqrt[]{x} = 1$

⇔ $x = 1$ (TM)

+) $M = 4$

⇔ $\frac{\sqrt[]{x}+5}{\sqrt[]{x}+1} = 4$

⇔ $\sqrt[]{x} + 5 = 4\sqrt[]{x} + 4$

⇔ $3\sqrt[]{x} = 1$

⇔ $\sqrt[]{x} = \frac{1}{3}$

⇔ $x = \frac{1}{9}$ (TM)
+) $M = 5$

⇔ $\frac{\sqrt[]{x}+5}{\sqrt[]{x}+1} = 5$

⇔ $\sqrt[]{x} + 5 = 5\sqrt[]{x} + 5$

⇔ $4\sqrt[]{x} = 0$

⇔ $x = 0$ (L)

Kết hợp các trường hợp ⇒ $x =$ {$\frac{1}{9} , 1 , 9$}