Đáp án:a.$3(2a+b+c)(a+2b+c)(a+b+2c)$
b.$ A=3(x-y)(y-z)(z-x)$
Giải thích các bước giải:
a.Ta có:
$(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3$
$=(a+b+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(a+b+b+c)+(c+a)^3$
$=(a+2b+c)^3+(c+a)^3-3(a+b)(b+c)(a+2b+c)$
$=(a+2b+c+c+a)^3-3(a+2b+c)(c+a)(a+2b+c+c+a)-3(a+b)(b+c)(a+2b+c)$
$=(2a+2b+2c)^3-3(a+2b+c)(c+a)(2a+2b+2c)-3(a+b)(b+c)(a+2b+c)$
$=(2a+2b+2c)^3-3(a+2b+c)((c+a)(2a+2b+2c)+(a+b)(b+c))$
$=8(a+b+c)^3-3(a+2b+c)((c+a)(2a+b+c+(b+c))+(a+b)(b+c))$
$=8(a+b+c)^3-3(a+2b+c)((c+a)(2a+b+c)+(c+a)(b+c)+(a+b)(b+c))$
$=8(a+b+c)^3-3(a+2b+c)((c+a)(2a+b+c)+(c+a+a+b)(b+c))$
$=8(a+b+c)^3-3(a+2b+c)((c+a)(2a+b+c)+(c+2a+b)(b+c))$
$=8(a+b+c)^3-3(a+2b+c)(c+a+b+c)(2a+b+c)$
$=8(a+b+c)^3-3(a+2b+c)(a+b+2c)(2a+b+c)$
$=8(a+b+c)^3-3(2a+b+c)(a+2b+c)(a+b+2c)$
$\to 8(a+b+c)^3-(a+b)^3-(b+c)^3-(c+a)^3=3(2a+b+c)(a+2b+c)(a+b+2c)$
b.Ta có:
$A=(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3$
$\to A=(x-y+y-z)((x-y)^2-(x-y)(y-z)+(y-z)^2)+(z-x)^3$
$\to A=(x-z)((x-y)^2-(x-y)(y-z)+(y-z)^2)-(x-z)^3$
$\to A=(x-z)((x-y)^2-(x-y)(y-z)+(y-z)^2-(x-z)^2)$
$\to A=(x-z)((x-y)((x-y)-(y-z))+((y-z)-(x-z))((y-z)+(x-z)))$
$\to A=(x-z)((x-y)(x-2y+z)+(y-x)(x+y-2z))$
$\to A=(x-z)((x-y)(x-2y+z)-(x-y)(x+y-2z))$
$\to A=(x-z)(x-y)(x-2y+z-(x+y-2z))$
$\to A=(x-z)(x-y)(-3y+3z)$
$\to A=3(x-y)(y-z)(z-x)$
