Gọi đa thức ở đề bài là `n(x)`
Ta thấy, tổng các hệ số của đa thức bằng `0`
`=> n(x)` sẽ có `1` là nghiệm
`=> n(1) = 0`
Áp dụng định lý Bezout, suy ra:
`n(x)` khi chia cho `x - 1` sẽ có số dư là `0`
`=> x - 1` là `1` nhân tử của `n(x)`
`n(x) = 3x^6 - 3x^5 - 7x^5 + 7x^4 + 27x^4 - 27x^3 - 20x^3 + 20x^2 + 32x^2 - 32x + 40x - 40`
`= 3x^5(x - 1) - 7x^4(x - 1) + 27x^3(x - 1) - 20x^2(x - 1) + 32x(x - 1) + 40(x - 1)`
`= (x - 1)(3x^5 - 7x^4 + 27x^3 - 20x^2 + 32x + 40)`
`= (x - 1). m(x)`
Ta có, `x = -2/3` là nghiệm của đa thức `m(x)`
`=> m(-2/3) = 0`
Áp dụng định lý Bezout, ta suy ra:
` m(x)` khi chia cho `x + 2/3` sẽ có số dư là `0`
`=> x + 2/3` là `1` nhân tử của `m(x)`
`m(x) = 3x^5 + 2x^4 - 9x^4 - 6x^3 + 33x^3 + 22x^2 - 42x^2 - 28x + 60x + 40`
`= 3x^4(x + 2/3) - 9x^3(x + 2/3) + 33x^2(x + 2/3) - 42x(x + 2/3) + 60(x + 2/3)`
`= (x + 2/3)(3x^4 - 9x^3 + 33x^2 - 42x + 60)`
`= 3(x + 2/3)(x^4 - 3x^3 + 11x^2 - 14x + 20)`
`= 3(x + 2/3). p(x)`
Ta có:
`p(x) = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)`
`= x^4 + cx^3 + dx^2 + ax^3 + acx^2 + adx + bx^2 + bcx + bd`
`= x^4 + (c + a)x^3 + (d + ac + b)x^2 + (ad + bc)x + bd`
Đồng nhất thức, ta được:
$\begin{cases} c + a = -3\\d + ac + b = 11\\ad + bc =-14\\bd = 20 \end{cases}$
$\begin{cases} a = -2\\b = 4\\c = -1\\d = 5 \end{cases}$
`=> p(x) = (x^2 - 2x + 4)(x^2 - x + 5)`
`=> m(x) = 3(x + 2/3)(x^2 - 2x + 4)(x^2 - x + 5)`
`=> n(x) = 3(x - 1)(x + 2/3)(x^2 - 2x + 4)(x^2 - x + 5)`
Vậy đa thức được phân tích thành nhân tử là `3(x - 1)(x + 2/3)(x^2 - 2x + 4)(x^2 - x + 5)`
