Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
1) Chứng minh bốn điểm A, D, C, E cùng thuộc một đường tròn.
Ta có: \(\angle CEA = {90^0}\,\,\left( {CE \bot AE} \right)\)
 \(\begin{array}{l}\angle CDA = {90^0}\,\,\left( {CD \bot AB} \right)\\ \Rightarrow \angle CEA + \angle CDA = {180^0}\end{array}\)
\( \Rightarrow \)Tứ giác ADCE nội tiếp (dhnb)
Hay A, D, C, E cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)
2) AC cắt DE tại B, BC cắt DF tại Q, chứng minh \(\Delta PAE\) đồng dạng với \(\Delta PDC\)suy ra \(PA.PC = PD.PE.\)
Ta có tứ giác ADCE nội tiếp (cmt)
\( \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\angle EAP = \angle PDC\\\angle AEP = \angle PCD\end{array} \right.\,\,\,\)(các góc nội tiếp cùng chắn 1 cung).
\( \Rightarrow \Delta PAE \sim \Delta PDC\,\,\left( {g - g} \right)\,\,\left( {dpcm} \right).\)
\( \Rightarrow \frac{{PA}}{{PD}} = \frac{{PE}}{{PC}} \Leftrightarrow PA.PC = PD.PE\,\,\,\left( {dpcm} \right)\)
3) Chứng minh AB//PQ 
Xét tứ giác \(CDBF\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle CFB = {90^0}\,\,\,\left( {CF \bot MB} \right)\\\angle CDB = {90^0}\,\,\left( {CD \bot AB} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \angle DFB + \angle CDB = {180^0}\)
\( \Rightarrow CDBF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
\( \Rightarrow \angle FCB = \angle FDB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(FB\)).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle APD = \frac{1}{2}\left( {sd\,\,cung\,\,AD + sd\,\,cung\,\,EC} \right) = \frac{1}{4}\left( {\angle ACD + \angle EAC} \right)\\\angle CQD = \frac{1}{2}\left( {sd\,\,cung\,\,CD + sd\,\,cung\,\,BF} \right) = \frac{1}{4}\left( {\angle DBC + \angle BCF} \right)\end{array} \right.\)  (tính chất góc có đỉnh nằm trong đường tròn)
Mà \(\angle CQD = \angle BCF\) (cùng phụ với \(\angle DAC\)), \(\angle EAC = \angle DBC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\)).
\( \Rightarrow \angle APD = \angle CQD\,\left( { = \frac{1}{4}\left( {\angle ACD + \angle EAC} \right)} \right)\)
\( \Rightarrow DPCQ\) là tứ giác nội tiếp (góc trong tại 1 đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện).
\( \Rightarrow \angle CPQ = \angle CDQ\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CQ).
Lại có: \(\angle CDQ = \angle CBF = \angle CAB \Rightarrow \angle CPQ = \angle CAB\)
Mặt khác hai góc này ở vị trí đồng vị.
\( \Rightarrow AB//PQ\left( {dpcm} \right).\)
4) Khi điểm C di động trên cung nhỏ AB của đường tròn (O) thì trong tâm G của tam giác ABC di chuyển trân đường nào.

Gọi G là trọng tâm
\( \Rightarrow \frac{{CG}}{{CN}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{NG}}{{NC}} = \frac{1}{3}\) (tính chất trọng tâm tam giác)
Từ G, dựng \(GI//OC\,\,\left( {I \in OM} \right)\) ta có :
\(\frac{{GI}}{{OC}} = \frac{{NG}}{{NC}} = \frac{{NI}}{{NO}} = \frac{1}{3}\) (định lý Ta-let)
\(IG = \frac{1}{3}OC = \frac{1}{3}R\) (không đổi).
Mà \(\frac{{NI}}{{NG}} = \frac{1}{3},\,\,do\,\,M,\,\,O,\,A,\,B\) là các điểm cố định nên N là điểm cố định
\( \Rightarrow I\) cũng là điểm cố định.