Công thức tính tổng bình phương n số:
$1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Nếu không biết công thức này thì bạn tự chứng minh nhé (￣へ￣), mình đang lười~
Xét số hạng tổng quát của tổng S
$\frac{2n+1}{(1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2)(n+2)}\\
=\frac{2n+1}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}(n+2)}\\
=\frac{6}{n(n+1)(n+2)}\\
=3.\frac{2}{n(n+1)(n+2)}\\
=3.\frac{n+2-n}{n(n+1)(n+2)}\\
=3.(\frac{n+2}{n(n+1)(n+2)}-\frac{n}{n(n+1)(n+2)})=3.(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)})$
Vậy dãy S tương đương
$S=3.(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{(n-1)n}-\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)})\\
=3.(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)})\\
=3.\frac{n^2+3n}{2(n+1)(n+2)}$
