Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
$BG = \dfrac{2}{3}BN;GD = AG = \dfrac{2}{3}AM$
Lại có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
MG = MD\left( { = \dfrac{1}{2}AG} \right)\\
\widehat {GMC} = \widehat {DMB}\left( {dd} \right)\\
MC = MB
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \Delta GMC = \Delta DMB\left( {c.g.c} \right)\\
\Rightarrow GC = DB\\
\Rightarrow DB = \dfrac{2}{3}CP
\end{array}$
$\to $ Các cạnh của tam giác $BGD$ bằng $\dfrac{2}{3}$ độ dài các trung tuyến của tam giác $ABC$
b) Ta có:
$BM = \dfrac{1}{2}BC$
Lại có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
GF = GN\left( { = \dfrac{1}{3}BN} \right)\\
\widehat {FGD} = \widehat {NGA}\left( {dd} \right)\\
GD = GA
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \Delta FGD = \Delta NGA\left( {c.g.c} \right)\\
\Rightarrow FD = NA\\
\Rightarrow FD = \dfrac{1}{2}AC
\end{array}$
Mặt khác:
$\begin{array}{l}
\Delta GMC = \Delta DMB\left( {c.g.c} \right)\\
\Rightarrow \widehat {MGC} = \widehat {MDB}\\
\Rightarrow \widehat {DGC} = \widehat {GDE}
\end{array}$
Như vậy:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
PG = ED\left( { = \dfrac{1}{3}CP} \right)\\
\widehat {AGP} = \widehat {GDE}\left( { = \widehat {DGC}} \right)\\
GA = GD
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \Delta AGP = \Delta GDE\left( {c.g.c} \right)\\
\Rightarrow AP = GE\\
\Rightarrow GE = \dfrac{1}{2}AB
\end{array}$
$\to $ Các cạnh của tam giác $BGD$ bằng một nửa các cạnh của tam giác $ABC$
