Đáp án:
$x = (2k+1)\pi$ và $x = -\dfrac{\pi}4 + k\pi$
Lời giải:
Điều kiện: $\cos x \neq 0$ hay $x \neq \dfrac{\pi}2 + k\pi$.
Áp dụng công thức sin của 1 tổng $\sin (x+y)$ ta có
$\sin^2\left({\dfrac x2-\dfrac{\pi}4}\right)\tan^2x-\cos^2\dfrac x2=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \left({\sin\dfrac x2 - \cos\dfrac x2}\right)^2 \tan^2x - \cos^2\dfrac x2 = 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} (1 - \sin x) \tan^2x - \dfrac{1 + \cos x}{2} = 0$
$\Leftrightarrow (1-\sin x) \dfrac{\sin^2x}{\cos^2x} - (1+\cos x) = 0$
$\Leftrightarrow(1-\sin x) \dfrac{1-\cos^2x}{1 - \sin^2x} - (1 +\cos x) = 0$
$\Leftrightarrow (1-\sin x) \dfrac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{(1-\sin x)(1 + \sin x)} - (1+\cos x) = 0$
$\Leftrightarrow\dfrac{(1 + \cos x)(1-\cos x)}{1 + \sin x} - (1+\cos x) = 0$
$\Leftrightarrow (1+\cos x)\left({\dfrac{1-\cos x}{1+\sin x} - 1}\right) = 0$
$\Leftrightarrow \cos x = -1$ hoặc $1-\cos x = 1 + \sin x$
$\Leftrightarrow x = \pi+2k\pi$ hoặc $\tan x=-1$
$\Leftrightarrow x = (2k+1)\pi$ hoặc $x = -\dfrac{\pi}4 + k\pi$.
Vậy nghiệm là $x = (2k+1)\pi$ hoặc $x = -\dfrac{\pi}4 + k\pi$.
