Đáp án:
$2022$
Giải thích các bước giải:
$\quad \log_6(2020x + m)= \log_41010x$
Đặt $\log_6(2020x + m)= \log_41010x = t$
$\Rightarrow \begin{cases}6^t = 2020x + m\\4^t = 1010x\end{cases}$
Ta được:
$\quad 2.4^t = 6^t - m$
$\Leftrightarrow 6^t - 2.4^t = m$
Xét $f(t)= 6^t - 2.4^t$
$\Rightarrow f'(t)= 6^t\ln6 - 4.4^t\ln2$
$f'(t)= 0 \Leftrightarrow t \approx 1,1$
Bảng xét dấu:
$\begin{array}{c|ccc}t&-\infty&&1,1&&+\infty\\\hline f'(t)&&-&0&+&\end{array}$
Ta được:
$\min f(t)= f(1,1)\approx - 2,01$
Phương trình có nghiệm
$\Leftrightarrow f(t)= m$ có nghiệm
$\Leftrightarrow y = m$ cắt $y = f(t)$ tại ít nhất một điểm
$\Leftrightarrow - 2,01 \leqslant m$
Ta lại có: $m < 2020$
nên $- 2,01 \leqslant m < 2020$
mà $m\in \Bbb Z$
Do đó: $m\in\underbrace{\{-2;-1;0;\dots;2018;2019\}}_{\text{2022 giá trị m}}$
