Bạn lưu ý : Hàm số có đạo hàm tại điểm xo thì liên tục tại điểm đó. Nhưng hàm số liên tục tại điểm xo thì chưa chắc có đạo hàm tại xo.
Ở đây y=|x| liên tục tại xo vì lim(x->0+) y = lim(x->0-) y = lim(x->0) y = 0
Còn về đạo hàm của y=|x| tại xo=0 :
y=f(x)=|x| = ( x nếu x>0 ) và ( -x nếu x<0 )
Nếu x>0 : Đạo hàm phải của hàm số tại xo=0 là
y'(0+) = lim(x->0+) [f(x) - f(xo)] / [x-xo]
= lim(x->0+) [x - xo] / [x-xo] = 1
Nếu x<0 : Đạo hàm trái của hàm số tại xo=0 là
y'(0-) = lim(x->0-) [f(x) - f(xo)] / [x-xo]
= lim(x->0-) [-x + xo] / [x-xo] = -1
y'(0-) khác y'(0+) vậy nên không tồn tại y'(0)
Hay hàm số y=|x| không có đạo hàm tại xo=0
