Bài này ta dùng định lí Ceva
Chứng minh
Giả sử ta đã có AD,BE,CF đồng quy tại điểm O
Khi đó ta có :
$\dfrac{S_{AOF}}{S_{BOF}}=\dfrac{FA}{FB}$ do cùng chung đường cao hạ từ O xuống AB
Tương tự : $\dfrac{S_{ACF}}{S_{BCF}}=\dfrac{FA}{FB}$ do cùng chung đường cao hạ từ C xuống AB
Từ đó ⇒$\dfrac{FA}{FB}=\dfrac{S_{ACF}-S_{AOF}}{S_{BCF}-S_{BOF}}=\dfrac{S_{AOC}}{S_{BOC}}$
Tương tự thì ta có:
$\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{S_{ABO}}{S_{ACO}}$
$\dfrac{EC}{EA}=\dfrac{S_{BOC}}{S_{ABO}}$
Vậy $\dfrac{FA}{FB}.\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}=\dfrac{S_{AOC}}{S_{BOC}}.\dfrac{S_{ABO}}{S_{ACO}}.\dfrac{S_{BOC}}{S_{ABO}}=1$
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Chứng minh định lý Ceva đảo
Giả sử ta đã có các điểm D,E,F thỏa mãn $\dfrac{FA}{FB}.\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}=1$
Gọi O là giao điểm của AD,BE và F′ là giao điểm của AB,CO
Theo phần thuận chứng minh ở trên thì ta có :
$\dfrac{FA}{FB}.\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}=1$
Kết hợp với giả thiết $⇒\dfrac{FA}{FB}=\dfrac{F'A}{F'B}$
$⇒\dfrac{FA}{FB}+1=\dfrac{F'A}{F'B}+1$
$⇒\dfrac{AB}{F'B}=\dfrac{AB}{FB}$
$⇔F'B=FB$
Vậy F≡F′ hay AD,BE,CF đồng quy
Áp dụng vào bài ta có:
Do $AD$ là đường trung tuyến $⇒DB=DC⇒\dfrac{DB}{DC}=1$
Mà $AE=\dfrac{1}{3}AC⇒AE=\dfrac{1}{2}EC⇒\dfrac{EC}{AE}=2$
$AK=\dfrac{1}{3}AB⇒AK=\dfrac{1}{2}KB⇒\dfrac{AK}{KB}=\dfrac{1}{2}$
$⇒\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{AE}.\dfrac{AK}{KB}=1.2.\dfrac{1}{2}=1$
Nên theo định Lí Ceva thì $BE;AD;CK$ đồng quy (đpcm)
