Tam giác ABC có hai trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau. Hãy tính diện tích tam giác đó theo hai cạnh AM và BN. A.\(S_{ABC}=\frac{2}{5}AM.BN\) B.\(S_{ABC}=\frac{1}{3}AM.BN\) C.\(S_{ABC}=\frac{2}{3}AM.BN\) D.\(S_{ABC}=\frac{4}{3}AM.BN\)
Đáp án đúng: C Giải chi tiết: Tứ giác ABMN có hai đường chéo AM và BN vuông góc với nhau nên có diện tích là: \({{S}_{ABMN}}=\frac{1}{2}AB.MN\) Hai tam giác AMC và ABC có chung đường cao hạ từ A nên \(\frac{{{S}_{AMC}}}{{{S}_{ABC}}}=\frac{MC}{BC}=\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow {{S}_{AMC}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABC}}\,(1)\) Hai tam giác AMN và AMC có chung đường cao hạ từ M nên \(\frac{{{S}_{AMN}}}{{{S}_{AMC}}}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow {{S}_{AMN}}=\frac{1}{2}{{S}_{AMC}}\,(2)\) Từ (1) và (2) suy ra \({{S}_{AMN}}=\frac{1}{4}{{S}_{ABC}}\,\) Hai tam giác AMB và ABC có chung đường cao hạ từ A nên \(\frac{{{S}_{AMB}}}{{{S}_{ABC}}}=\frac{MB}{BC}=\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow {{S}_{AMB}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABC}}\,\) Ta có: \({{S}_{ABMN}}={{S}_{AMN}}+{{S}_{ABM}}=\frac{1}{4}{{S}_{ABC}}+\frac{1}{2}{{S}_{ABC}}=\frac{3}{4}{{S}_{ABC}}\) \(\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\frac{4}{3}{{S}_{ABMN}}=\frac{4}{3}.\frac{1}{2}.AM.BN=\frac{2}{3}AM.BN\) Chọn C