Đáp án:
\[BC = 2\sqrt {15} \]
Giải thích các bước giải:
BD và CE là hai đường phân giác của góc B và C cắt nhau tại I
Suy ra AI là đường phân giác của góc A
Áp dụng tính chất đường phân giác ta có:
\[\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{BI}}{{ID}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 2 \Rightarrow AB = 2AD\]
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác ABD vuông tại A ta có:
\[\begin{array}{l}
A{B^2} + A{D^2} = B{D^2}\\
\Leftrightarrow {\left( {2AD} \right)^2} + A{D^2} = {\left( {3\sqrt 3 } \right)^2}\\
\Leftrightarrow 5A{D^2} = 27\\
\Leftrightarrow AD = \frac{{3\sqrt {15} }}{5}\\
\Rightarrow AB = \frac{{6\sqrt {15} }}{5}
\end{array}\]
BD là phân giác của góc B nên ta có:
\[\begin{array}{l}
\frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{DA}}{{DC}} \Leftrightarrow \frac{{BA}}{{DA}} = \frac{{BC}}{{DC}}\\
\Rightarrow \frac{{BC}}{{DC}} = 2 \Leftrightarrow BC = 2DC
\end{array}\]
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác ABC vuông tại A ta có:
\[\begin{array}{l}
A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\
\Leftrightarrow A{B^2} + {\left( {AD + DC} \right)^2} = B{C^2}\\
\Leftrightarrow A{B^2} + {\left( {AD + \frac{{BC}}{2}} \right)^2} = B{C^2}\\
\Leftrightarrow {\left( {\frac{{6\sqrt {15} }}{5}} \right)^2} + {\left( {\frac{{3\sqrt {15} }}{5} + \frac{{BC}}{2}} \right)^2} = B{C^2}\\
\Rightarrow BC = 2\sqrt {15}
\end{array}\]
