$a$. Có $AN$ $⊥$ $HD$
$N$ là trung điểm $HD$
=> $AN$ là đường trung trực của $∆HAD$
$⇒$ Góc $HAN$ $=$ góc $DAN$
$⇒$ Góc $HAM$ $=$ $1/2$ góc $HAE$ ($1$)
Chứng minh tương tự có góc $HAM$ $=$ góc $EAM$
$⇒$ Góc $HAN$ $=$ $1/2$ góc $HAD$ ($2$)
Từ ($1$) và ($2$) suy ra: góc $MAN$ $=$ $1/2$ góc $EAD$
$⇒$ Góc $EAD$ $=$ $180°$ (do $∆ABC$ vuông tại $A$)
$⇒$ đpcm
$b$. Sai đề.
$c$. Do $AN$ đồng thời là đường trung trực.
$⇒$ $HB$ $=$ $DB$
Tương tự ta có: $CE$ $=$ $HC$
Vì vậy $BC$ $=$ $HC$ $+$ $HB$ $=$ $BD$ $+$ $CE$