Đáp án đúng: C
Phương pháp giải:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại điểm \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi hàm số liên tục tại \({x_0}\) và \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right.\).Giải chi tiết:TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - m} \right\}\).
Ta có
\(\begin{array}{l}y' = \frac{{\left( {2x + m} \right)\left( {x + m} \right) - \left( {{x^2} + mx + 1} \right)}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2{x^2} + 2mx + mx + {m^2} - {x^2} - mx - 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{{x^2} + 2mx + {m^2} - 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\end{array}\)
Điều kiện cần để hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) là:
\(y'\left( 2 \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{{2^2} + 2m.2 + {m^2} - 1}}{{{{\left( {2 + m} \right)}^2}}} = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4m + 3 = 0\\m \ne - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = - 3\end{array} \right.\)
Với \(m = - 3\) ta có \(y' = \frac{{{x^2} - 6x + 8}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right.\).
Lại có
\(\begin{array}{l}y'' = \frac{{\left( {2x - 6} \right){{\left( {x - 3} \right)}^2} - 2\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 6x + 8} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^4}}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {2x - 6} \right)\left( {x - 3} \right) - 2\left( {{x^2} - 6x + 8} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^3}}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{2}{{{{\left( {x - 3} \right)}^3}}}\end{array}\)
\( \Rightarrow y''\left( 2 \right) = - 2 < 0\) nên \(x = 2\) là điểm cực đại của hàm số. Hay \(m = - 3\) không thỏa mãn.
Với \(m = - 1\) ta có \(y' = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).
Lại có
\(\begin{array}{l}y'' = \frac{{\left( {2x - 2} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2} - 2\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) - 2\left( {{x^2} - 2x} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}\end{array}\)
\( \Rightarrow y''\left( 2 \right) = 2 > 0\) nên \(x = 2\) là điểm cực tiểu của hàm số (thỏa mãn).
Vậy \(m = - 1\) thỏa mãn đề bài.
Chọn C.
