$\text{a)}$
$\text{M=4+$4^{2}$+$4^{3}$+$4^{4}$+....+$4^{2012}$+$4^{2013}$}$
$\text{M=4+($4^{2}$+$4^{3}$)+($4^{4}$+$4^{5}$)....+($4^{2012}$+$4^{2013}$)}$
$\text{M=4+4(4+$4^{2}$)+...+$4^{2011}$(4+$4^{2}$}$
$\text{M=4+4.20+...+$4^{2011}$.20}$
$\text{M=4+20(4+$4^{2}$+...+$4^{2011}$}$
Vì $\text{200$\vdots$10}$ $\Rightarrow$ $\text{M$\vdots$10}$ $\Rightarrow$ $\text{M}$ có tận cùng là $\text{0}$
$\text{b)}$
Gọi số nhỏ nhất cần tìm là $\text{a(a ∈ N*}$
Ta có:
$\text{a-1$\vdots$3}$
$\text{a-3$\vdots$4}$ $\Longrightarrow$ $\text{a-3+4=a-1 $\vdots$ 4}$
$\text{a-1$\vdots$5}$
$\Rightarrow$ $\text{a-1 $\in$ BC(3, 4, 5)={0,60,120,180,...}}$
Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là $\text{60}$
