Đáp án:
$GTLN$ của $AH +MH = (\sqrt{2} + 1)R ⇔ AH = (1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2})R$
Giải thích các bước giải:
Đặt $: AH = x > 0 ; y = AH + MH = x + MH$
$ ⇒ y - x = MH ⇒ (y - x)²= MH² = AH.BH$
$ ⇔ y² - 2xy + x² = x(2R - x) $
$ ⇔ 2x² - 2(y + R)x + y² = 0 (1)$
Điều kiện để $(1)$ có nghiệm $x$ là:
$Δ'_{y} = (y + R)² - 2y² ≥ 0$
$ ⇔ 2y² ≤ (y + R)² ⇔ y\sqrt{2} ≤ y + R$
$ ⇔ y(\sqrt{2} - 1) ≤ R ⇔ y ≤ (\sqrt{2} + 1)R (2)$
Vậy $GTLN$ của $y = AH +MH = (\sqrt{2} + 1)R $
xảy ra khi $(2)$ thỏa mãn $(1)$
$ 2x² - 2(x\sqrt{2}).(\sqrt{2} + 1)R + [(\sqrt{2} + 1)R]² = 0 $
$ ⇔ [x\sqrt{2} - (\sqrt{2} + 1)R]² = 0 ⇔ x = (1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2})R$
Cách dựng hình:
Giả sử $H$ thuộc đoạn $OA$ thì bao giờ cũng tồn tại $H'$
đối xứng với $H$ qua $O$ và $AH < AH'; M'H' = MH$ khi đó:
$ AH + MH < AH' + M'H'$
Vì vậy chỉ xét $H$ thuộc đoạn $OB$
Trên cung nhỏ $BM$ lấy $M_{0}$ sao cho $∠BOM_{0} = 45^{0}$
tiếp tuyến của $(O)$ tại $M_{0}$ cắt $AB$ tại $P$ và cắt $MH$ tại $M'$
$ ⇒ ΔHM'P$ vuông cân tại $H ⇒ MH ≤ M'H = PH $
$ ⇒ AH + MH ≤ AH + PH = AP = AO + OP = R(1 + \sqrt{2})$
Vậy $GTLN$ của $AH + MH = R(1 + \sqrt{2})$
xảy ra khi $M≡M_{0} ⇔ ∠BOM = 45^{0}$
