Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Không mất tính tổng quát giả sử $R ≥ r$
Ta có $:∠AOB + ∠AO'C = (180^{0} - 2.∠OAB) + (180^{0} - 2.∠O'AC)$
$ = 360^{0} - 2.(∠OAB + ∠O'AC) = 360^{0} - 2.90^{0} = 180^{0} $
$ ⇒ OB//O'C$
Xét 2 trường hợp :
- Nếu $R = r' ⇔ OB//=O'C ⇔ OBCO' $ là hbh
$ ⇒ BC//OO' ⇒ AH⊥OO' ⇒ H$ chạy trên đường thắng
$d$ cố định đi qua $A$ và $d⊥OO'$
( Cậu tự giới hạn quỹ tích)
- Nếu $R > r ⇒ OBCO' $ là hình thang. Gọi $P = BC∩OO'$
Ta có $: \dfrac{OP}{OB} = \dfrac{O'P}{OC} ⇔ \dfrac{OP}{OB} = \dfrac{OP - OO'}{OC}$
$ ⇔ OP(\dfrac{1}{OC} - \dfrac{1}{OB}) = \dfrac{OO'}{OC}$
$ ⇔ OP = \dfrac{OB.OO'}{OB - OC} = \dfrac{R.(R + r)}{R - r}$ không đổi
$ ⇒ P$ cố định . Mà $∠AHP = 90^{0} ⇒ H$ chạy trên
đường tròn đường kính $AP$ cố định xác định như trên.
( Cậu tự giới hạn quỹ tích)
Vẽ $AK//OB$ ta có:
$\dfrac{AK}{OB} = \dfrac{AP}{OP} = \dfrac{OP - OA}{OP} = 1 - \dfrac{OA}{OP}$
$ = 1 - \dfrac{R}{OP} = 1 - \dfrac{R - r}{R + r} = \dfrac{2r}{R + r} ⇒ AK = \dfrac{2Rr}{R + r}$
$ ⇒ AH ≤ AK = \dfrac{2Rr}{R + r} (*)$
Dấu $'='$ xảy ra khi $K≡H ⇔ OB⊥BC ⇔BC$
là tiếp tuyến chung ngoài của $(O); (O')$
Chú ý : Từ đây suy ra Quỹ tích của $H$ là phần đường thẳng
đi qua $A$ và vuông góc với $OO'$ ( nếu $R = r$) hoặc
phần cung tròn của đường tròn đường kính $AP$ ( Nếu $R > r$)
được giới hạn bởi 2 tiếptuyến chung ngoài của $(O); (O')$
