Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Vì từ $P$ kẻ được $2$ tiếp tuyến với $(O)$
Giả sử $PA$ là tiếp tuyến thứ nhất $⇒ A$ cố định
Qua $P$ kẻ đường thẳng $d$ song song với $OA$
Trên đường thẳng $d$ lấy điểm $K$ sao cho $PK=OA$ ($K, O$ khác phía đối với $PA$)
Gọi $O'$ đối xứng với $O$ qua $BC$
Ta có: $\begin{cases}OA = PK\\OA // PK\end{cases}$
$⇒ OPKA$ là hình bình hành
$⇒ KA=OP$ $(1)$
Mặt khác: $HA // OO'$ (cùng vuông góc $BC$)
Ta có bổ đề: $HA=OO'$
$⇒ OAHO'$ là hình bình hành
$⇒ \begin{cases}OA // O'H\\ OA=O'H\end{cases}$
Mà $\begin{cases}PK // OA\\PK=OA\end{cases}$
nên $\begin{cases}PK // O'H\\PK=O'H\end{cases}$
$⇒ PKHO'$ là hình bình hành
$⇒ KH= PO'$
Mà $O, O'$ đối xứng qua $BC$
nên $PO'=PO$
$⇒ KH=PO$ $(2)$
Từ $(1), (2)$ suy ra: $KA=KH$
$⇒ H$ thuộc đường tròn $(K; KA)$
Vì $P$ và đường tròn $(O)$ cố định nên $d$ cố định
$PK$ không đổi và nằm khác phía với $O$ đối với $AP$
$⇒ K$ cố định
Ngoài ra, $KA=OP$ không đổi
$⇒ (K; KA)$ cố định
Vậy quỹ tích điểm $H$ là đường tròn $(K; KA)$
Giới hạn quỹ tích:
Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $OP$
Gọi $H_{1}$ là giao điểm của $OA$ với $(K; KA)$
Gọi $H_{2}$ là giao điểm của đường thẳng qua $A'$ và vuông góc với $AA'$ với $(K; KA)$
Vì $B$ nằm giữa $P$ và $C$ nên $B$ di chuyển từ $A$ đến $A'$
- Khi $B$ tiến lại gần $A$ thì $C$ tiến lại gần $A$ và $H$ tiến lại gần $H_{1}$
- Khi $B$ tiến lại gần $A'$ thì $C$ tiến lại gần $A'$ và $H$ tiến lại gần $H_{2}$
Vì $PBC$ là cát tuyến nên $B \neq C$
Như vậy, giới hạn quỹ tích điểm $H$ là cung $H_{1}H_{2}$ của $(K; KA)$ và $H \neq H_{1}$ và $H_{2}$
Làm tương tự với $PA$ là tiếp tuyến thứ $2$
Bổ đề sử dụng trong bài:
$ΔABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có $H$ là trực tâm
và $O'$ là điểm đối xứng của $O$ qua $BC$
$⇒ AH=OO'$
