$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{2}{3}\\↔\dfrac{AB}=\dfrac{2AC}{3}$
Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$:
$·\quad\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{AH^2}\\↔\dfrac{1}{\left(\dfrac{2AC}{3}\right)^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{6^2}\\↔\dfrac{1}{\dfrac{4AC^2}{9}}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{36}\\↔\dfrac{9}{4AC^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{36}\\↔\dfrac{81}{36AC^2}+\dfrac{36}{36AC^2}=\dfrac{AC^2}{36AC^2}\\→117=AC^2\\↔3\sqrt{13}cm=AC(AC>0)\\→AB=2\sqrt{13}cm$
Áp dụng định lý Pytago vào $ΔABC$ vuông tại $A$:
$→BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{(3\sqrt{13})^2+(2\sqrt{13})^2}=\sqrt{169}=13cm$
Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$:
$·\quad AB^2=BH.BC$ hay $(2\sqrt{13})^2=BH.13$
$↔52=BH.13\\↔4cm=BH$
$·\quad AC^2=CH.BC$ hay $(3\sqrt{13})^2=CH.13$
$↔117=CH.13\\↔9cm=CH$
Vậy $AB=2\sqrt{13}cm,\,AC=3\sqrt{13}cm,\,BC=13cm,\,BH=4cm,\,CH=9cm$
