1. Ta xét
$x^4 = (4+\sqrt{15})^4 (\sqrt{5} - \sqrt{3})^4 (4-\sqrt{15})^2$
$= [(4+\sqrt{15})(4 - \sqrt{15})]^2 . (4 + \sqrt{15})^2 (8 - 2\sqrt{15})^2$
$= (16 - 15)^2 . (4 + \sqrt{15})^2 . 4(4 - \sqrt{15})^2$
$= [(4+\sqrt{15})(4 - \sqrt{15})]^2 . 4 = (16 -15)^2 . 4 = 4$
Hơn nữa, ta xét
$x\sqrt{2} = (4 + \sqrt{15}) (\sqrt{5} - \sqrt{3}) \sqrt{4 - \sqrt{15}} . \sqrt{2}$
$= \sqrt{(4+\sqrt{15})^2 (4 - \sqrt{15})} (\sqrt{5} - \sqrt{3}).\sqrt{2}$
$= \sqrt{(4 + \sqrt{15})(4-\sqrt{15})(4 + \sqrt{15})}(\sqrt{5} - \sqrt{3}).\sqrt{2}$
$= \sqrt{4 + \sqrt{15}} (\sqrt{5} - \sqrt{3}).\sqrt{2}$
$= \sqrt{8 + 2\sqrt{15}}(\sqrt{5} - \sqrt{3})$
$= \sqrt{40 + 10\sqrt{15}} - \sqrt{24 + 6\sqrt{15}}$
$= \sqrt{15 + 2.5.\sqrt{15} + 25} - \sqrt{15 + 2.3.\sqrt{15} + 9}$
$= \sqrt{(\sqrt{15} + 5)^2} - \sqrt{(\sqrt{15} + 3)^2}$
$= \sqrt{15} + 5 - \sqrt{15} - 3$
$= 2$
Thay $x = (4 + \sqrt{15})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) \sqrt{4 - \sqrt{15}}$ vào hàm và áp dụng những tính toán trên ta có
$f(x) = (4 + 2 - 7)^{2012} = (-1)^{2012} = 1$.
2. Gọi $a = B_1$, $b = B_2$, khi đó, ta có tọa độ $A_1(a, a^2)$ và $A_2(b, b^2)$
Khi đó, ptrinh đường thẳng đi qua O và $A_1$ là $y = ax$ và ptrinh đường thẳng đi qua O và $A_2$ là $y = bx$.
Do hai đường thẳng này vuông góc nên tích hsg của chúng bằng -1 hay $ab = -1$.
Ta có
$OB_1^2 = a^2, OB_2^2 = b^2$
Vậy $OB_1 . OB_2 = |a| . |b| = |ab| = |-1| = 1$.
