( Theo mình nghĩ , đề phải là : `2^2+3^2+4^2+.........+2020^2+2021^2` do thầy mình từng cho làm rồi nhưng chưa chữa )

 `2^2 + 3^2 + 4^2 + .... + 2020^2 + 2021^2` 

Đặt `A =  2^2 + 3^2 + 4^2 + .... + 2020^2 + 2021^2 `

      `A = ( 1 + 1 ) . 2 + ( 1 + 2 ) . 3 + ( 1 + 3 ) . 4 + .... + ( 1 + 1999 ) . 2020 + ( 1 + 2020 ) . 2021` 

      `A = 1 . 2 + 1 . 2 + 1 . 3 + 2 . 3 + 1 . 4 + 3 . 4 + .... + 1 . 2020 + 1999 . 2020 + 1 . 2021 + 2020 . 2021`

      `A = ( 2 + 3 + .... + 2021 ) + ( 1 . 2 + 2 . 3 + .... + 2020 . 2021 )`

Đặt` A = B + C`

Coi `B = 1 . 2 + 2 . 3 + .... + 2020 . 2021`

      `B . 3 = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 3 + ..... + 2020 . 2021 . 3`

     ` B . 3 = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . ( 4 - 1 ) + .....+  2020 . 2021 . ( 2022 - 2019 )`

      `B . 3 = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 4 - 1 . 2 . 3 + .... + 2020 . 2021 . 2022 - 2020 . 2019 . 2021`

      `B . 3 = ( 1 . 2 . 3 ) - ( 1 . 2 . 3 ) + ..... + ( 2019 . 2020 . 2021 - 2019 . 2020 . 2021 ) + 2020 . 2021 . 2022`

      `B . 3 = 0 + .... + 0 + 2020 . 2021 . 2022`

      `B . 3 = 2020 . 2021 . 2022`

       `B = 2020 . 2021 . 2022 : 3`

       `B = 2020 . 2021 . ( 2022 : 3 ) `

       ` B = 4082420 . 674`

        ` B =  2751551080 `

Do` B = 1 . 2 + 2 . 3 + .... + 2020 . 2021`

`⇒ C = 2 + 3 + .... + 2021`   [ 2020 số hạng ]

     `C = ( 2021 + 2 ) . 2020 : 2`

     `C = 2023 . 1010`

      `C =  2043230`

`⇒ A = B + C = 2751551080 + 2043230 = 2753594310`

Vậy , tổng đó là : `2753594310`

Đáp án: (Đổi đề: $2000^2⇒2020^2$)

$S=2753594310$

Giải thích các bước giải:

Đặt $S=2^2+3^2+.....+2020^2+2021^2$

$=(1+1).2+(1+2).3+.....+(1+2019).2020+(1+2020).2021$

$=1.2+1.2+1.3+2.3+.....+1.2020+2019.2020+1.2021+2020.2021$

$=(2+3+.....+2021)+(1.2+2.3+.....+2020.2021)$

Đặt $A=2+3+.....+2021$

Số số hạng là: $(2021-2)÷1+1=2020$ (số)

Vậy $A=(2021+2).2020÷2=2043230$

Đặt $B=1.2+2.3+.....+2020.2021$

$⇒3B=1.2.3+2.3.3+3.4.3+.....+2020.2021.3$

$=1.2.3+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)+.....+2020.2021.(2022-2019)$

$=1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+.....+2020.2021.2022-2019.2020.2021$

$=2020.2021.2022$

$⇒B=2020.2021.2022÷3=2751551080$

Vậy $S=A+B$

$=2043230+2751551080=2753594310$