Đáp án đúng:

Phương pháp giải:

Đưa chứng minh đồng quy về chứng minh thẳng hàng. Sử dụng bổ đề hình bình hành và bài toán phương tích quen thuộcGiải chi tiết:Gọi \(G\) là giao điểm của tia \(AO\) với \(\left( O \right)\)
Gọi giao điểm của các đường thẳng \(BC\) và \(FE\) là $S$, \(SA\) cắt \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai \(K\)
Ta có \(BH\,{\rm{//}}\,GC\)(cùng vuông góc với $AC$)
 \(CH\,{\rm{//}}\,GB\)(cùng vuông góc với \(AB\))
Suy ra $BHCG$ là hình bình hành, suy ra $H,M,G$ thẳng hàng.
Tứ giác $BCEF$ nội tiếp nên ta có $\Delta SBF\sim \Delta SEC\Rightarrow $$SB.SC=SF.SE$
Tứ giác $BCAK$ nội tiếp nên ta có $\Delta SBK\sim \Delta SAC\Rightarrow $$SB.SC=SK.SA$
Suy ra $SF.SE=SK.SA\Rightarrow \Delta SKF\sim \Delta SEA\Rightarrow AKFE$ là tứ giác nội tiếp
Lại có tứ giác \(AFHE\) nội tiếp đường tròn đường kính $AH$ suy ra $5$ điểm $A,K,F,H,E$ cùng thuộc đường kính $AH\Rightarrow \widehat{AKH}=90{}^\circ $
Lại có $\widehat{AKG}=90{}^\circ \Rightarrow K,H,M,G$ thẳng hàng
Suy ra $K$ là giao điểm của tia $HM$ với $\left( O \right)$, hay $K$ trùng $I$.
Vậy các đường thẳng $AI,EF,BC$ đồng quy tại $S$.