Sử dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) và \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\)Giải chi tiết:Gọi 3 số nguyên dương liên tiếp lần lượt là: \(n,n + 1,n + 2\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) Ta có: \(n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) = \left( {{n^2} + n} \right)\left( {n + 2} \right) + 1 = {n^3} + 2{n^2} + {n^2} + 2n = {n^3} + 3{n^2} + 2n\) Mặt khác, \({n^3} < {n^3} + 3{n^2} + 2n < {n^3} + 3{n^2} + 3n + 1\) \( \Leftrightarrow {n^3} < {n^3} + 3{n^2} + 2n < {\left( {n + 1} \right)^3}\,\,\left( * \right)\) Vì \(n\) là số nguyên dương nên \(\left( * \right)\) suy ra \(n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\) không là lập phương của một số tự nhiên hay tích của 3 số nguyên dương liên tiếp không là lập phương của một số tự nhiên.
