Đáp án:
\[ - \frac{1}{2} + 2\ln 3 - 2\ln 2\]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
I = \int\limits_1^e {\frac{{{{\ln }^2}x + \ln x}}{{x.\ln \left( {{e^2}x} \right)}}dx} = \int\limits_1^e {\frac{{{{\ln }^2}x + \ln x}}{{x.\left( {\ln {e^2} + \ln x} \right)}}dx = \int\limits_1^e {\frac{{{{\ln }^2}x + \ln x}}{{x\left( {2 + \ln x} \right)}}dx} } \\
t = \ln x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
dt = \frac{1}{x}dx\\
x = 1 \Rightarrow t = 0\\
x = e \Rightarrow t = 1
\end{array} \right.\\
\Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2} + t}}{{t + 2}}dt} = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{t^2} + t - 2} \right) + 2}}{{t + 2}}dt} \\
= \int\limits_0^1 {\left[ {\left( {t - 1} \right) + \frac{2}{{t + 2}}} \right]dt} \\
= \mathop {\frac{1}{2}{t^2} - t + 2\ln \left| {t + 2} \right|}\nolimits_0^1 \\
= - \frac{1}{2} + 2\ln 3 - 2\ln 2
\end{array}\)
