Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Câu IV:
1/ Vì $H, K$ lần lượt là hình chiếu của $O$ lên $BD, AC$
nên $H, K$ lần lượt là trung điểm của đoạn $BD, AC$
Xét $ΔAIC$ và $ΔBID$
Có: $\widehat{AIC}$ chung
$\widehat{IAC}=\widehat{IBD}$ (cùng chắn cung $CD$)
$⇒ ΔAIC \backsim ΔBID$
$⇒ \widehat{ICA}=\widehat{IDB}$
và $\dfrac{IC}{ID}=\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{2.CK}{2.DH}=\dfrac{CK}{DH}$
Xét $ΔICK$ và $ΔIDH$
Có: $\widehat{ICA}=\widehat{IDB}$
$\dfrac{IC}{ID}=\dfrac{CK}{DH}$
$⇒ ΔICK \backsim ΔIDH$
$⇒ \dfrac{IC}{ID}=\dfrac{IK}{IH}$
$⇒ ID.IK=IC.IH$ $(đpcm)$
b/ Ta có: $\widehat{NIO}=\widehat{NHO}=90^0$
$⇒ INOH$ là tứ giác nội tiếp
$⇒ \widehat{NOI}=\widehat{NHI}$ $(1)$
Tương tự: $\widehat{MIO}=\widehat{MKO}=90^0$
$⇒ MIKO$ là tứ giác nội tiếp
$⇒ \widehat{MOI}=\widehat{MKI}$ $(2)$
Mặt khác: $ΔICK \backsim ΔIDH$ (câu $a$)
$⇒ \widehat{IKC}=\widehat{IHD}$ $(3)$
Từ $(1), (2), (3)$ suy ra: $\widehat{NOI}=\widehat{MOI}$
$ΔMON$ có $OI$ vừa là đường cao, vừa là đường phân giác (cmt)
$⇒ ΔMON$ cân tại $O$
Mà $OI$ là đường cao nên $OI$ cũng là đường trung tuyến
Hay $IM=IN$ $(đpcm)$
Câu V:
Giả sử không tồn tại đường tròn bán kính bằng $1$ nào chứa ít nhất $2013$ điểm đã cho
Vẽ các đường tròn tâm là $4025$ điểm đã cho và bán kính bằng $1$
Theo giả thiết phản chứng, không tồn tại $2012$ điểm nằm trong $1$ đường tròn đã vẽ.
Như vậy, mỗi đường tròn chứa nhiều nhất $2012$ điểm đã cho (kể cả tâm đường tròn)
Vì $2$ đường tròn chứa nhiều nhất: $2012+2012=4024$ điểm
và trên mặt phẳng có $4025$ điểm
nên tồn tại $1$ điểm nằm ngoài $2$ đường tròn (giả sử điểm đó là $A$)
Giả sử tâm $2$ đường tròn trên là $B, C$
Xét $3$ điểm $A, B, C$:
$AB, AC, BC$ đều $>1$ (Mâu thuẫn với đề bài)
Vậy tồn tại đường tròn bán kính bằng $1$ chứa không ít hơn $2013$ điểm đã cho
