Đáp án: $(x,y)\in\{(2,1),(3,0)\}$
Giải thích các bước giải:
Nếu $x=0\to 1+5^y=n^2$
$\to n^2-1=5^y$
$\to (n-1)(n+1)=5^y$
$\to \begin{cases}n-1=5^t\\ n+1=5^k\end{cases}$
$\to 5^k=5^t+2$
Nếu $k>0\to 5^k\quad\vdots\quad 5$ mà $5^t+2\quad\not\vdots\quad 5\to $loại
$\to k=0\to 1=5^t+2\to $ vô nghiệm vì $t\in Z$
Nếu $x=1\to 2+5^y=n^2$
Vì số chính phương chia $5$ dư $0,1,4$
$\to$Phương trình vo onghiệm
Nếu $x=2\to 4+5^y=n^2$
$\to n^2-2^2=5^y$
$\to (n-2)(n+2)=5^y$
$\to \begin{cases} n-2=5^k\\ n+2=5^t\end{cases}$
$\to 5^t-5^k=4$
$\to 5^k(5^{t-k}-1)=4$
$\to (5^k,5^{t-k}-1)\in\{(1,4)\}$ vì $5^k\ge 0$ lẻ
$\to k=0, t=1$
$\to y=k+t=1$
Nếu $x>2\to 2^x\quad\vdots\quad 8$
Nếu $y$ lẻ $\to 5^y\equiv 5(mod 8)$
$\to 2^x+5^y\equiv 5(mod 8)$ (loại)
$\to y$ chẵn
$\to y=2k$
$\to 2^x+5^{2k}=n^2$
$\to 2^x=n^2-(5^k)^2$
$\to (n-5^k)(n+5^k)=2^x$
$\to \begin{cases}n-5^k=2^m\\ n+5^k=2^t\\ m,t\in N, m+t=x\end{cases}$
$\to \begin{cases} n=\dfrac12(2^m+2^t)=2^{m-1}+2^{t-1}\\ 5^k=\dfrac12(2^t-2^m)=2^{t-1}-2^{m-1}\end{cases}$
Trường hợp $1: y=0\to k=0\to 2^{t-1}-2^{m-1}=5^k$
$\to 2^{t-1}-2^{m-1}=1$
$\to 2^{t-1}=2^{m-1}+1$
$\to m=1, t=2\to x=3$
Trường hợp $2: y>0\to k>0$
$\to 2^{t-1}-2^{m-1}>0$ mà $5^k$ lẻ
$\to 2^{m-1}$ lẻ
$\to m-1=0$
$\to m=1$
$\to \begin{cases}n=1+5^k\\ 5^k=2^{t-1}-1\end{cases}$
$\to n=2^{t-1}$ vì $n$ lẻ
$\to t-1=0\to t=1\to x=2$ loại vì $x>2$
