Đáp án:
\[S = \frac{1}{{100}}\]
Giải thích các bước giải:
Đặt \(A = \frac{1}{{10.11}} + \frac{1}{{11.12}} + \frac{1}{{12.13}} + .... + \frac{1}{{99.100}}\)
Áp dụng công thức tổng quát sau:
\(\frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{\left( {n + 1} \right) - n}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{n + 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} - \frac{n}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
A = \frac{1}{{10.11}} + \frac{1}{{11.12}} + \frac{1}{{12.13}} + ... + \frac{1}{{99.100}}\\
= \left( {\frac{1}{{10}} - \frac{1}{{11}}} \right) + \left( {\frac{1}{{11}} - \frac{1}{{12}}} \right) + \left( {\frac{1}{{12}} - \frac{1}{{13}}} \right) + .... + \left( {\frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}}} \right)\\
= \frac{1}{{10}} - \frac{1}{{100}}\\
\Rightarrow S = \frac{1}{{10}} - A = \frac{1}{{10}} - \left( {\frac{1}{{10}} - \frac{1}{{100}}} \right) = \frac{1}{{100}}
\end{array}\)
