Đáp án: $ n=16t+6, t\in Z$
Giải thích các bước giải:
Đặt $A=n^3+2n^2-3n+2$
Vì $n\in Z$ nên ta xét các trường hợp sau:
$+)n=4k, k\in Z$
$\to A=(4k)^3+2\cdot (4k)^2-3\cdot 4k+2$
$\to A=64k^3+32k^2-12k+2$
Để $A\quad\vdots\quad 16$
$\to A\quad\vdots\quad 4$
$\to 64k^3+32k^2-12k+2\quad\vdots\quad 4$
$\to2\quad\vdots\quad 4$ vô lý
$\to n=4k$ loại
$+)n=4k+1, k\in Z$
$\to A=(4k+1)^3+2\cdot (4k+1)^2-3\cdot (4k+1)+2$
$\to A=64k^3+80k^2+16k+2$
Để $A\quad\vdots\quad 16$
$\to A\quad\vdots\quad 4$
$\to 64k^3+80k^2+16k+2\quad\vdots\quad 4$ vô lý
$\to n=4k+1$ loạn
$+)n=4k+2, k\in Z$
$\to A=(4k+2)^3+2\cdot (4k+2)^2-3\cdot (4k+2)+2$
$\to A=64k^3+128k^2+68k+12$
Để $A\quad\vdots\quad 16$
$\to 64k^3+128k^2+68k+12\quad\vdots\quad 16$
$\to 64k^3+128k^2+64k+4k+16-4\quad\vdots\quad 16$
$\to 4k-4\quad\vdots\quad 16$
$\to 4(k-1)\quad\vdots\quad 16$
$\to k-1\quad\vdots\quad 4$
$\to k-1=4t , t\in Z$
$\to k=4t+1$
$\to n=4(4t+1)+2\to n=16t+6$
$+)n=4k+3, k\in Z$
$\to A=(4k+3)^3+2\cdot (4k+3)^2-3\cdot (4k+3)+2$
$\to A=64k^3+176k^2+144k+38$
Để $A\quad\vdots\quad 16$
$\to A\quad\vdots\quad 4$
$\to 64k^3+176k^2+144k+38\quad\vdots\quad 4$
$\to 38\quad\vdots\quad 4$ vô lý
$\to n=4k+3$ loại
