Đáp án: $ x = 2014$
Giải thích các bước giải: Với $∀n ∈ N^{*}$ ta có:
$\frac{1}{\frac{n(n + 1)}{2}} = \frac{2}{n(n + 1)} = 2(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = \frac{2}{n} - \frac{2}{n + 1}$
Áp dụng lần lượt với $n = 2; 3; 4; ...; x$ ta có:
$\frac{1}{3} =\frac{2}{2.3} = \frac{2}{2} - \frac{2}{3}$
$\frac{1}{6} =\frac{2}{3.4} = \frac{2}{3} - \frac{2}{4}$
$\frac{1}{10} =\frac{2}{4.5} = \frac{2}{4} - \frac{2}{5}$
.....................................................
$\frac{1}{\frac{x(x + 1)}{2}} = \frac{2}{x(x + 1)} = \frac{2}{x} - \frac{2}{x + 1}$
Cộng tất cả lại vế với vế:
$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + ...+ \frac{1}{\frac{x(x + 1)}{2}} = \frac{2}{2} - \frac{2}{x + 1}$
$ ⇒ \frac{2}{2} - \frac{2}{x + 1} = \frac{2013}{2015} $
$ ⇒ \frac{2}{x + 1} = 1 - \frac{2013}{2015} = \frac{2}{2015}$
$ ⇒ x + 1 = 2015 ⇒ x = 2014$