Đáp án: Không tồn tại $x,y$ thỏa mãn đề
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$2y(2x^2+1)+2x(2y^2+1)=x^3y^3$
$\to 4x^2y+2y+4xy^2+2x=(xy)^3$
$\to (4x^2y+4xy^2)+(2x+2y)=(xy)^3$
$\to 4xy(x+y)+2(x+y)=(xy)^3$
$\to 2(x+y)(2xy+1)=(xy)^3$
$\to 16(x+y)(2xy+1)=(2xy)^3$
$\to 16(x+y)(2xy+1)=(2xy)^3+1-1$
$\to 16(x+y)(2xy+1)=(2xy+1)((2xy)^2-2xy+1)-1$
$\to (2xy+1)((2xy)^2-2xy+1)-16(x+y)(2xy+1)=1$
$\to (2xy+1)((2xy)^2-2xy+1-16(x+y))=1$
$\to 1\quad\vdots\quad 2xy+1$
$\to 2xy+1\in\{1,-1\}$
$\to 2xy\in\{0,-2\}$
$\to xy\in\{0,-1\}$
Nếu $xy=0\to x=0$ hoặc $y=0$
Nếu $x=0\to 2y\cdot (2\cdot 0^2+1)+2\cdot 0(2y^2+1)+1=0^3\cdot y^3$
$\to 2y+1=0\to y=-\dfrac12$ (loại)
Tương tự $y=0$ (loại)
Nếu $xy=-1\to (x,y)$ là cặp ước của $-1$
$\to (x,y)\in\{(1,-1), (-1,1)\}$
Thử lại $ (x,y)\in\{(1,-1), (-1,1)\}$ không đúng
$\to$ Không tồn tại $x,y$ thỏa mãn đề
