Đáp án: $\text{a) Hàm số đồng biến trên (0; 1) và nghịch biến trên (1; 2)}$

$\text{b) Hàm số nghịch biến trên (-∞; -3) và đồng biến trên (2; +∞)}$

$\text{c) Hàm số nghịch biến trên (-∞; 1) và đồng biến trên (1; +∞)}$

$\text{d) Hàm số đồng biến trên (-1; √2/2) và nghịch biến trên (√2/2; 1)}$

Giải thích các bước giải:

$\text{ a) +) ĐKXĐ: 2x - x^2 ≥ 0 }$

$\text{<=>  0 ≤ x ≤ 2}$

$\text{Vậy tập xác định D = [0 ; 2]}$

$\text{+) Ta xét}$ `y^' = (sqrt(2x-x^2))^'=(2x-x^2)^'/(2sqrt(2x-x^2))=(2-2x)/(2sqrt(2x-x^2))=(1-x)/(sqrt(2x-x^2))`

`Cho` `y^' = 0; <=> (1-x)/(sqrt(2x-x^2)) = 0`

`<=> 1 - x = 0 <=> x = 1`

$\text{Ta có bảng biến thiên (ở dưới)}$

$\text{Vậy hàm số đồng biến trên (0; 1) và nghịch biến trên (1; 2)}$

-------------------------------------------------------------------------------------------------

$\text{b) +) ĐKXĐ: x^2 + x - 6 ≥ 0 }$

$\text{<=> x ≤ -3; x ≥ 2}$

$\text{Vậy TXĐ: D = (-∞; -3] ∪ [2; +∞)}$

$\text{+) Ta có:}$ `y^' = (sqrt(x^2+x-6))^'=(x^2+x-6)^'/(2sqrt(x^2+x-6))=(2x+1)/(2sqrt(x^2+x-6))`

`Cho` `y^' =0 ; <=> (2x+1)/(2sqrt(x^2+x-6)) = 0`

`<=> 2x + 1 = 0; <=> x = -1/2`

$\text{Ta có bảng biến thiên (ở dưới) }$

$\text{Vậy hàm số nghịch biến trên (-∞; -3) và đồng biến trên (2; +∞)}$

-------------------------------------------------------------------------------------------------

$\text{c) +) Ta có D = R}$

$\text{+) Xét đạo hàm}$ `y^'=(sqrt(x^2-2x+3))^'=(x^2-2x+3)^'/(2sqrt(x^2-2x+3))=(2x-2)/(2sqrt(x^2-2x+3))=(x-1)/(sqrt(x^2-2x+3))`

`Cho` `y^' = 0; <=> (x-1)/(sqrt(x^2-2x+3)) = 0`

`<=> x - 1 = 0; <=> x = 1`

$\text{Ta có bảng biến thiên (ở dưới) }$

$\text{Vậy hàm số nghịch biến trên (-∞; 1) và đồng biến trên (1; +∞)}$

-------------------------------------------------------------------------------------------------

$\text{d)+) ĐKXĐ:}$ `1 - x^2 ≥ 0`

`<=> -1 ≤ x ≤ 1`

$\text{Tập xác định D = [-1; 1]}$

$\text{+) Đạo hàm ta có}$ `y^' = (x+sqrt(1-x^2))^'=1+(1-x^2)^'/(2sqrt(1-x^2))=1+(-2x)/(2sqrt(1-x^2)`
`=1-(x)/(sqrt(1-x^2))=(sqrt(1-x^2)-x)/(sqrt(1-x^2))`

`Cho` `y^' = 0; <=> (sqrt(1-x^2)-x)/(sqrt(1-x^2)) = 0`

`<=> sqrt(1-x^2)-x = 0 (ĐK: x ≥ 0)`

`<=> sqrt(1-x^2) = x`

`<=> 1 - x^2  =x^2`

`<=> -2x^2+1 = 0`

`<=> x = sqrt2/2` `(nhận)`; `x = -sqrt2/2` `(loại)`

$\text{Vậy hàm số nghịch biến trên (-1; √2/2) và đồng biến trên (√2/2; 1)}$