Ta có:
$|a|≤1;|b|≤1;|c|≤1;|d|≤1$
⇒ $a^2016≤a^2$
$b^2017≤b^4$
$c^2018≤c^6$
$d^2019≤d^8$
⇔$a^2016+b^2017+c^2018+d^2019≤1$
Để $a^2016+b^2017+c^2018+d^2019=1$ thì:
$a^2016=a^2⇔a∈{0;±1}$
$b^2017=b^4⇔b∈{0;1}$
$c^2018=c^6⇔c∈{0;±1}$
$d^2019=d^8⇔d∈{0;1}$
Mà $a^2+b^4+c^6+d^8=1$ suy ra:
Ta có các bộ số: $(a;b;c;d)=(1;0;0;0)=(-1;0;0;0)=(0;1;0;0)=(0;0;1;0)=(0;0;-1;0)=(0;0;0;1)$
$M=a(a^2-1)+3b(b^3-1)+5c(c^4-1)+7d(d^5-1)$
Dễ thấy các phần tử $a^2;b^3;c^4;d^5 $đều bằng 0 hoặc 1
⇒M=0