$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ chia hết cho $(x-2)^2 $
$\Rightarrow f(x)=Q(x).(x-2)^2 $
Ta thấy $f(x)$ bậc $3$ và $(x-2)^2$ bậc $2$ nên $Q(x)$ có bậc $1$
Gọi $Q(x)$ có dạng $dx+e$
Ta có
$f(x)=(dx+e)(x^2-4x+4)\\ =dx^3-4dx^2+4dx+ex^2-4ex+4e\\ =dx^3+(e-4d)x^2+4(d-e)x+4e\\ =x^3 + ax^2 + bx + c$
Đồng nhất hệ số
$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} d=1\\ a=e-4d \\b=4(d-e)\\c=4e\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} d=1\\ a=e-4 \\b=4-4e\\c=4e\end{array} \right.$
Theo bài ra ta có $f(1)=4$
$\Rightarrow 4=1+a+b+c\\ \Leftrightarrow a+b+c=3\\ \Leftrightarrow e-4+4-4e+4e=3\\ \Leftrightarrow e=3\\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} a=-1 \\b=-8\\c=12\end{array} \right.$
Vậy $f(x)=x^3-x^2-8x+12$
