Tìm \(f\left( 4 \right)\) biết rằng \(\int\limits_{0}^{f\left( x \right)}{{{t}^{2}}\,\text{d}t}=x.\cos \pi x.\) A. \(f\left( 4 \right)=2.\) B. \(f\left( 4 \right)=3.\) C. \(f\left( 4 \right)=\sqrt[3]{4}.\) D. \(f\left( 4 \right)=\sqrt[3]{12}.\)
Đáp án đúng: D Giải chi tiết:Gọi \(G\left( t \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( t \right)={{t}^{2}}\,\,\Rightarrow \,\,G\left( t \right)=\frac{{{t}^{3}}}{3}.\) Ta có \(\int\limits_{0}^{f\left( x \right)}{{{t}^{2}}\,\text{d}t}=x.\cos \pi x\Leftrightarrow \left. \frac{{{t}^{3}}}{3} \right|_{0}^{f\left( x \right)}\Leftrightarrow \frac{{{f}^{3}}\left( x \right)}{3}=x\cos \pi x\) \(\Leftrightarrow {{f}^{3}}\left( x \right)=3x\cos \pi x\Leftrightarrow f\left( x \right)=\sqrt[3]{3x\cos \pi x}.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( * \right)\) Thay \(x=4\) vào đẳng thức \(\left( * \right),\) ta được \(f\left( 4 \right)=\sqrt[3]{3.4.\cos 4\pi }=\sqrt[3]{12}.\) Chọn D