`a)`

`M=-x^2-x+3`

`=-(x^2+x-3)`

`=-[x^2+2 . 1/2 .x +(1/2)^2-(1/2)^2-3]`

`=-[(x+1/2)^2-13/4]`

`=-(x+1/2)^2+13/4`

Vì `(x+1/2)^2≥0∀x`

`->-(x+1/2)^2≤0∀x`

`->-(x+1/2)^2+13/4≤13/4∀x`

`->M≤13/4∀x`

Dấu `'=` xảy ra `<=>x+1/2=0<=>x=-1/2`

Vậy `M_{max}=13/4` khi `x=-1/2`

`b)`

`N=-4x^2+8x-1`

`=-(4x^2-8x+1)`

`=-[(2x)^2-2.2x.4+2^2-2^2+1]`

`=-[(2x-2)^2-3]`

`=-(2x-2)^2+3`

Vì `(2x-2)^2≥0∀x`

`->-(2x-2)^2≤0∀x`

`->-(2x-2)^2+3≤3∀x`

`->N≤3`

Dấu `'='` xảy ra `<=>2x-2=0<=>2x=2<=>x=1`

Vậy `N_{max}=3` khi `x=1`

`c)`

`P=-16x^2+14x`

`=-(16x^2-14x)`

`=-[(4x)^2-2.4x. 7/4 +(7/4)^2-(7/4)^2]`

`=-[(4x-7/4)^2-49/16]`

`=-(4x-7/4)^2+49/16`

Vì `(4x-7/4)^2≥0∀x`

`->-(4x-7/4)^2≤0∀x`

`->-(4x-7/4)^2+49/16≤49/16∀x`

`->P≤49/16`

Dấu `'='` xảy ra `<=>4x-7/4=0`

`<=>4x=7/4`

`<=>x=7/16`

Vậy `P_{max}=49/16` khi `x=7/16`

`d)`

`Q=-36x^2+x+3`

`=-(36x^2-x-3)`

`=-[(6x)^2-2.6x . 1/12 +(1/12)^2-(1/12)^2-3]`

`=-[(6x-1/12)^2-433/144]`

`=-(6x-1/12)^2+433/144`

Vì `(6x-1/12)^2≥0∀x`

`->-(6x-1/12)^2≤0∀x`

`->-(6x-1/12)^2+433/144≤433/144∀x`

`->Q≤433/144`

Dấu `'='` xảy ra `<=>6x-1/12=0`

`<=>6x=1/12`

`<=>x=1/72`

Vậy `Q_{max}=433/144` khi `x=1/72`

Đáp án:

 a,M=-x^2-x+3=-(x^2+x-3)=-(x^2+2.x.1/2+1/4-3-1/4)=-(x+1/2)^2+13/4

Vì (x+1/2)^2≥0 với mọi x ⇒ -(x+1/2)≤0 với mọi x ⇒ -(x+1/2)^2+13/4 ≤ 13/4 với mọi x

Dấu bằng xảy ra khi x+1/2=0 ⇔ x=-1/2

Vậy giá trị lớn nhất của M là 13/4 đạt được khi x =-1/2.

b, N=-4x^2+8x-1=-(x^2-8x+1)=-(x^2-2.x.4+16-15)=-(x-4)^2+15

Vì (x-4)^2≥0 với mọi x ⇒ -(x-4)^2 ≤ 0 với mọi x ⇒ -(x-4)^2+15 ≤ 15 với mọi x

Dấu bằng xảy ra khi x-4=0 ⇔ x=4

Vậy giá trị lớn nhất của N là 15 đạt được khi x=4.

c,P=-16x^2+14x=-(16x^2-14x)=-[(4x)^2-2.4x.7/4+49/16-49/16]=-(4x-7/4)^2+49/16

Vì (4x-7/4)^2≥0 với mọi x ⇒ -(4x-7/4)^2≤0 với mọi x ⇒ -(4x-7/4)^2+49/16 ≤ 49/16 với mọi x

Dấu bằng xảy ra khi 4x-7/4=0 ⇔ 4x=7/4 ⇔ x=7/16

Vậy giá trị lớn nhất của P là 49/16 đạt được khi x=7/16.

d,Q=-36x^2+x+3=-[(6x)^2-2.6x.1/12+1/144-1/144-3]=-(6x-1/12)^2+433/144

Vì (6x-1/12)^2≥0 với mọi x ⇒ -(6x-1/12)^2≤0 với mọi x ⇒ -(6x-1/12)^2 + 433/144 ≤ 433/144

Dấu bằng xảy ra khi 6x-1/12=0⇔x=1/72

Vậy giá trị lớn nhất của Q là 433/144 đạt được khi x=1/72.