Đáp án:
`y_{max}= -2\sqrt{3}+2` khi `x=4-2\sqrt{3}`
Giải thích các bước giải:
`3)` `y={-x-2}/{\sqrt{x}+1}` `\quad (x\ge 0)`
`={-(x-1)-3}/{\sqrt{x}+1}`
`={-(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)-3}/{\sqrt{x}+1}`
`={-(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}/{\sqrt{x}+1}-3/{\sqrt{x}+1}`
`=-(\sqrt{x}-1)-3/{\sqrt{x}+1}`
`=-(\sqrt{x}+1+3/{\sqrt{x}+1})+2`
Áp dụng bất đẳng thức Cosi với hai số dương `\sqrt{x}+1;3/{\sqrt{x}+1}` ta có:
`\sqrt{x}+3/{\sqrt{x}+1}\ge 2\sqrt{(\sqrt{x}+1). 3/{\sqrt{x}+1}}=2\sqrt{3}`
`=>-(\sqrt{x}+1+3/{\sqrt{x}+1})\le -2\sqrt{3}`
`=>-(\sqrt{x}+1+3/{\sqrt{x}+1})+2\le -2\sqrt{3}+2`
`=>y\le -2\sqrt{3}+2`
Dấu "=" xảy ra khi:
`\qquad \sqrt{x}+1=3/{\sqrt{x}+1}`
`=>(\sqrt{x}+1)^2=3`
`=>\sqrt{x}+1=\sqrt{3}`
(vì `\sqrt{x}+1\ge 1>0` với mọi `x\ge 0)`
`=>\sqrt{x}=\sqrt{3}-1`
`=>x=(\sqrt{3}-1)^2=3-2\sqrt{3}+1`
`=>x=4-2\sqrt{3}` (thỏa mãn)
Vậy $GTLN$ của `y` bằng `-2\sqrt{3}+2` khi `x=4-2\sqrt{3}`
