Đáp án:
\[F{\left( x \right)_{\max }} = 4 \Leftrightarrow x = 2\]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\forall a,b\\
\Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0,\,\,\,\forall a,b\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab,\,\,\,\forall a,b\\
\Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge {a^2} + {b^2} + 2ab,\,\,\,\forall a,b\\
\Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge {\left( {a + b} \right)^2},\,\,\,\forall a,b
\end{array}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\)
Áp dụng bất đẳng thức trên vào bài toán ta có:
\(\begin{array}{l}
F\left( x \right) = x + \sqrt {8 - {x^2}} \\
\Rightarrow {F^2}\left( x \right) = {\left( {x + \sqrt {8 - {x^2}} } \right)^2} \le 2.\left( {{x^2} + {{\sqrt {8 - {x^2}} }^2}} \right) = 2\left( {{x^2} + 8 - {x^2}} \right) = 2.8 = 16\\
\Rightarrow - 4 \le F\left( x \right) \le 4\\
\Rightarrow F{\left( x \right)_{\max }} = 4 \Leftrightarrow x = \sqrt {8 - {x^2}} \Leftrightarrow x = 2
\end{array}\)
Vậy \(F{\left( x \right)_{\max }} = 4 \Leftrightarrow x = 2\)
