`\qquad P=\sqrt{x-3}+\sqrt{9-x}` ĐK: `3<=x<=9`
Chứng minh bđt phụ: Với `a;b>=0` thì
`\qquad 2\sqrt{ab}>=0`
`<=> a+2\sqrt{ab}+b>=a+b`
`<=> (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2>=a+b`
`<=> \sqrt{a}+\sqrt{b}>=\sqrt{a+b}`
Khi đó `\sqrt{x-3}+\sqrt{9-x}>=\sqrt{x-3+9-x}=\sqrt{6}`
Dấu = xảy ra khi `[(x-3=0),(9-x=0):}<=>[(x=3 (\text{tm})),(x=9(\text{tm})):}`
`-> P_(min)=\sqrt{6}<=>x∈{3;9}`
Lại có `P^2=(\sqrt{x-3}+\sqrt{9-x})^2`
Chứng minh bđt phụ:
`\qquad (a-b)^2>=0` với `AAa;b`
`<=> a^2-2ab+b^2>=0`
`<=> a^2+b^2>=2ab`
`<=> 2(a^2+b^2)>=(a+b)^2`
Khi đó `(\sqrt{x-3}+\sqrt{9-x})^2<=2(x-3+9-x)=2.6=12`
`=> P<=2\sqrt{3}`
Dấu = xảy ra khi `\sqrt{x-3}=\sqrt{9-x}`
`<=> x-3=9-x`
`<=> 2x=12`
`<=> x=6 (\text{tm})`
Vậy `P_(min)=sqrt{6}<=>x∈{3;9}`
`\qquad P_(max)=2\sqrt{3}<=>x=6`
